III. Nos deux glissières sont donc bien parallèles

Comme ainsi, les divers points d'une figure animée d'un mouvement de translation décrivent des droites toutes parallèles à quelque droite fixe, on dit que ce mouvement s'effectue parallèlement à cette droite.

78. Un mouvement de translation exécuté parallèlement à l'arête commune UV de deux denn-plans opposés (77 1, (25), fait glisser chacun de ceux-ci sur lui-même (c'est-à-dire sur sa position initiale).

Un point quelconque m de l'un de ces demi-plans et une autre de ses positions m; appartiennent effectivement à quelque même glissière fixe, et celle-ci ne. peut rencontrer UV, autre glissière de même mouvement (77, II). Les points m, m, sont donc dans un même demi-plan (25 1.

Semblablement, une translation d'un demi-espace (26), quand elle est parallèle à quelque droite de son plancher, ne fait que le déplacer à travers lui-même. {Cf. 121, //?/.)

Parallélisme des demi-droites, demi-plans, demi-espaces.

79. Quand deux demi-droites ont été empruntées à des droites parallèles, la translation capable de faire coïncider leur origines et d'appliquer par suite leurs droites l'une sur l'autre (41), les rend soit identiques, soit opposées. Nous dirons alors que les demi-droites sont parallèles, de plus directement dans le premier cas, inversement dans le second.

Cette possibilité de faire coïncider par simple translation deux demi-droites directement parallèles quelconques, fait dire identiques, les directions de toutes demi-droites de l'espace qui sont parallèles de cette manière, et opposées, celles de demi-droites qui le sont de l'autre manière.

80. Deux demi-droites parallèles à une même troisième le sont l'une à l'autre (44), et cela directement ou inversement, selon que leurs parallélismes avec celle-ci sont d'un même genre ou de genres différents. C'est évident.

81. Si dans le plan de deux demi-plans opposés, et de deux points de leur arête commune O, Oj (fig. 11), on mène deux demi-droites parallèles 0\ et 0,A, ou 0,A', elles tombent dcms un même demiplan, ou bien dans l'un et dcms l'cmtre, selon que leur parallélisme est direct ou inverse. Car la translation de glissière 00,, qui superpose les demi-droites dans le premier cas, les rend opposées dans le second, laisse celle qui s'est déplacée, dans le demiplan où elle était primitivement (79), (78), (27).

Et de même pour deux demi-droites parallèles, dont les origines sont situées sur le plancher commun à deux demi-espaces opposés (Ibid.).

82. Deux demi-plans sont parcdlèles, directement ou inversement, quand il existe une translation capable de les superposer

OU de les rendre opposés; il faut évidemment alors, que leurs arêtes soient parallèles, ainsi que les plans auxquels ils ont été empruntés.

Les oricntalions de demi-plans parallèles sont identiques dans le premier cas, opposées dans le second.

Mais la facilité et le peu d'importance du sujet nous permettent de laisser au lecteur le soin de le développer, et aussi d'étendre aux demi-espaces toutes ces notions et dénominations.