NORMALES A UN CERCLE

donc les droites menées par M dans le plan passant par ce point et par Vaxe, c'est-à-dire celles issues de M et appuyées sur l'axe, comme MO, Mw, . . . (fig. 171), ou lui étant parallèle comme MP. Parmi elles, se trouve naturellenieiit la normale principale MO passant par le centre du cercle (532).

On obtient le pied de quelque normale menée au cercle par un point étranger I, en le coupant par un plan passant par ce point I et par l'axe. Car un pareil pied ne dillère pas de celui d'un plan normal (620).

Quand I n'est pas sur l'axe, il y a deux solutions seulement IM, IM' {fig. 171). Quand il lui apjmrtient, il y en a une infinité constituée par les droites qui joignent ce point à tous ceux du cercle, c'est-à-dire par les génératrices du cône ayant I pour sommet et le cercle pour directrice (486).

622. Des deux longueurs de normales IM, IM' \fig. 171) que l'on peut mener à un cercle d'un point I étranger à son axe, celle IM ne contenant aucun point de l'axe est inférieure, l'autre IM' que l'axe rencontre intérieurement est supérieure, à la distance Im du même point I à tout autre point du cercle.

Quand le segment IM est sur une parallèle MP à l'axe, il est perpendiculaire au plan du cercle, inférieur par suite à Im joignant son extrémité I à un point m du plan qui n'est pas son pied (277).

Quand un de ses prolongements rencontre l'axe en w, le triangle lojm donne (288)

I/n > ojm — wl > coM — ojI > IM ,

car (om = oiM, p'.;^isque le point w est sur l'axe (618, III), et oj est extérieur à IM.

Mais dans le triangle lum, on trouve

I/n < um — ol < uM' -f ul < IM',

car on a encore um^uM', et u est intérieur à IM'.

623. Deux cercles dont les plans sont parallèles appartiennent de deux manières à des figures homothétiques entre elles, les unes directement, les autres inversement, mais où les centres sont toujours des points homologues.

La démonstration est identique à celle du n'^ 580. Quand les rayons des cercles sont inégaux, les centres d'homothétie directe ou inverse sont toujours les points partageant le segment des centres dans le rapport des rayons, cela extérieurement ou intérieurement. Quand ils sont égaux, le centre de l'homothétie directe disparaît, et les cercles peuvent être superposés par une translation égale et parallèle au segment des centres, le milieu de celui-ci étant alors le centre de l'homothétie inverse.

Dans chacune de ces deux correspondances, les cercles sont situés, soit sur un même cône ayant son sommet placé au centre de l'homothétie, soit sur un même cylindre parallèle à la droite de leurs centres (473), (403, III).

624. Les normales communes à deux cercles de même axe, 0, U (fîg. 172), sont en nombre illimité, s'obtenant évidemment (621) par lu jonction des traces M, M' sur l'un, à celles N, N' sur l'autre, de tout plan conduit par l'axe, passant ainsi les unes par l'un des centres d'homothétie de ces cercles (623), les autres par le second centre.

Les distances des deux pieds de chacune de ces normales ne sont Jamais que de deux longueurs dont la plus petite est inférieure, égale au plus, dont la plus grande est supérieure, égale au moins, à la distance mn de points quelconques appartenant respectivement aux deux cercles.

Prenons un point quelconque M sur l^in des cercles, 0, et coupons l'autre U, en N par le demi-plan OUM, puis en N' parle demi-plan opposé. Le segment MN, qui est normal aux deux cercles, ne peut avoir aucun point sur leur axe puisque ses extrémités sont dans un demi-plan ayant cet axe pour arête (23) ; donc (622), il est inférieur à ceux qui joignent le point M à tous ceux du cercle U, autres que N. Il ne peut donc surpasser un segment mn joignant des points quelconques des deux cercles; car une rotation convenable autour de l'axe commun, amènera évidemment mn à coïncider avec un autre segment ayant pour extrémités M et quelque point ;j, du cercle O.

Mais MN' rencontre l'axe par lui-même, parce que ses extrémités tombent de part et d'autre de lui dans un même plan MNOUM'N', et on prouvera semblablement, qu'il ne peut être inférieur à aucune distance de points appartenant à l'un et l'autre cercle.

Propriété.^ élémentaires des surfaces de révolution.

625. Une surface de révolution est caractérisée par la propriété de contenir entièrement tout cercle passant par un de ses points et ayant pour axe (618) une même droite nommée pour cette raison Vaxe de la surface. On peut donc la considérer comme engendrée par un cercle variable qui se déplace et se déforme, en conservant un même axe invariable, et en s'appuyant sur quelque directrice. Toutes les positions de ce cercle-génératrice ont leur plans parallèles entre eux, comme perpendiculaires à l'axe, et on les nomme les parallèles de la surface.

Cette définition et les propriétés du cercle établies dans le paragraphe précédent ont les conséquences immédiates que voici.

I. Toute rotation d'une surface de révolution autour de son axe

l'I'.OPRIKTKS CINKMATIQL'KS. .'511

fi

ne [dit que la rcappliqiwr sur sa posUion piintiUue. Car chaque parallèle glisse ainsi siniplement sur lui-même (Ibid. I).

Réciproquement, une surface est de réuolulion, avec une droite cilfl pour axe, quand elle se réapplique sur elle-même par toute rotation exécutée autour de cette droite. Klle contient cflectivement tout cercle de tel axe, passant par un quelconque de ses points (Ibid.).

Ces propriétés, (jui sont à rapj)rocher de celles analogues des cylindres (476, I), sont capitales en Cinématique a[){)li(iuée. Elles e-Ypliquent l'emploi des surfaces de révolution dans la taille des corps solides destinés à ne pouvoir que tourner autour d'axes fixes et des appuis qui doivent guider ces rotations. Elles expliquent encore la facilité extrême du façonnage de pareilles surfaces, l'une d'elles naissant forcément par l'usure réciproque de deux corps, dont l'un est fixe, dont l'autre est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe : c'est ce qu'on voit dans la machine-outil portant le nom de tour. Aussi, il n'y a presque aucun objet produit par l'industrie humaine, dont quelque partie de la surface ne soit de révolution.

II. Une surface de révolution est sijmctrique par rapport à son axe et par rapport à tout plan passant par lui {4:73'. Ciw il en est ainsi pour chacun de ses parallèles (618, II).

De la première symétrie combinée avec celle existant pour tout plan sécant mené par l'axe, il résulte que les parties de la surface qui sont situées respectivement dans les deux demiespaces séparés par un pareil plan sont toujours super})osables.

III. Toute ligne située sur une surface de révolution, s'y trouve encore après une rotation quelconque cmtour de son axe.

Les traces sur une même surface de révolution, de deu.v surfaces pouvant être appliquées l'une sur l'autre par une rotation autour de son axe, jouissent de cette propriété, sont égales en particulier.

Ces deux propositions sont des conséquences évidentes de celle de l'alinéa I. D'après la première, une surface de révolution peut encore être engendrée par la révolution indéfinie autour de son axe, d'une ligne quelconque rencontrant tous ses parallèles, d'où cette dénomination. En vertu de la seconde, les sections d'une semblable surface par des plans contenant son axe, sont des lignes toutes égales les unes aux autres (84, IV) ; on nomme ces lignes les méridiennes de la surface, et leurs plans sont ses plans méridiens ; ceux-ci ne ditlërent pas ainsi, des plans de symétrie mentionnés ci-dessus (II).

Une méridienne quelconque rencontre évidemment tous les parallèles de la surface, car son plan coupe ceux de ces cercles suivant des diamètres. On peut donc engendrer la surface, soit par un parallèle mobile s'appuyant sur une méridienne, soit par la révolution d'une méridienne mobile. Même, on définit de préférence une semblable surface, par sa méridienne qui en fait

saisir immédiatement la forme générale ; car. contemplé d'un point éloigné convenable, le contour d'un corps limité par une surface de révolution se confond très sensiblement avec une méridienne (631 bis, inf.).

IV. Les parallèles et les méridiennes d'une même surface de révolution se coupent orthogonalement (456).

Car la tangente à un parallèle est perpendiculaire au plan conduit parle point de contact et par l'axe (619), c'est-à-dire à celui de la méridienne passant par le même point. Elle est donc perpendiculaire sur la tangente à la méridienne, puisque toute tangente à celle-ci est située dans son plan (451).

V. Sur toutes les méridiennes, deux mêmes parallèles découpent des arcs égaux. Car deux de ces arcs coïncident évidemment par la rotation qui superpose les méridiennes auxquelles ils ont été empruntés.

VI. Quand deux surfaces de révolution ont même axe, elles ne peuvent se couper que suivant quelque groupe de parallèles communs (éventuellement encore, en quelques points isolés de leur axe). Car tout cercle, ayant pour axe celui des deux surfaces et passant par quelque point commun (n'appartenant pas à cet axe), est, par définition, situé tout entier sur Tune et sur l'autre,

626. Les surfaces de révolution ont plusieurs variétés qu'il importe de remarquer.

I. Quand la méridienne est une droite perpendiculaire sur l'axe, la surface se réduit à un plan perpendiculaire à l'axe, et de même pied (95)- Les parallèles sont alors tous les cercles de ce plan, qui ont ce pied pour centre commun. Tout plan peut donc être considéré comme une surface de révolution ayant pour axe une quelconque des droites qui lui sont perpendiculaires (94).

II. Quand elle est une droite parallèle à l'axe, elle demeure telle dans toutes ses positions, et la surface est un cNiindre parallèle à l'axe (475). Les parallèles d'un cylindre de révolution sont des cercles d'un même raj'on, dit rayon du cylindre et égal à la distance de la génératrice à l'axe, qui se confondent avec ses sections droites (477, I); ses génératrices, que deux parallèles quelconques découpent en segments égaux (625, V), sont les normales à ces cercles qui sont parallèles à leur axe commun (623).

Un cylindre est de révolution, quand il contient un cercle dont l'axe est parcdléle ci ses génératrices. Car, par chacun de ses points, passe sur lui un cercle de mêmes axe et rayon ([ue celui-ci (477, I).

Le fait, pour un cj'lindre de révolution, de glisser simplement sur lui-même par toute translation parallèle à ses génératrices (476, I), par toute rotation autour de son axe (625, I), et, en conséquence, par toute combinaison de ces deux mouvements,

CYLINDIŒ, CÔNE DE RÉVOLLTIOX. 343

lui confère une très grande importance dans les applications de la Cinématique.

III. Quand, sans se confondre avec l'axe, ni lui être perpendiculaire, la méridienne est une droite rencontrant l'a.Ke en un certain point S, elle passe par ce même point dans toutes ses positions, et la surface est un cône de sommet S (486), dont on nomme angle au sommet, l'ani^le aigu compris entre l'axe et la génératrice. Si cet angle était droit, le cône dégénérerait en un plan perpendiculaire sur l'axe, en son sommet d).

Les parallèles d'un cône de révolution sont des cercles homothétiques par rapport au sommet (487, 1), et ses génératrices, que l'un d'eux et le sommet (618, III) ou deux quelconques (625, V) découpent en segments égaux, se confondent avec les normales communes à ces cercles, qui sont issues de son sommet (623).

f 7Z cône est de révolution, quand il contient un cercle dont l'axe passe par son sommet, (^ar, par chacun de ses points passe sur lui un cercle homothétique à celui-ci par rapport au sommet (433, I), ayant par suite même axe (625).

La totalité d'un cône de révolution (ne dégénérant pas en un plan) est décomposée par le sommet en deux nappes (490) qui contiennent, l'une les demi-génératrices s'appuyant sur un même parallèle donné, l'autre leurs opposées.

IV. Du cône de révolution, se rapproche la surface réglée gauche de révolution, engendrée par une droite qui tourne autour d'un axe qu'elle ne rencontre pas, et qui, ainsi, n'est pas une méridienne. .Sa forme nous est montrée (grossièrement) par l'extérieur d'un paquet d'allumettes ou de brins rectilignes de macaroni, engerbés non cylindriqucment par un seul lien.

V. Si la méridienne est une circonférence, on a un tore, surface très intéressante que les Arts emploient assez souvent.

Quand la circonférence méridienne n'est pas coupée par l'axe, le tore a une forme annulaire. Quand un de ses diamètres se confond avec l'axe, le tore dégénère en une sphère, sa variété la plus remarquable que nous étudierons dans le chapitre suivant.

627. SU est situé sur l'axe, un point d'une surface de révolution est ordinaire quand il est tel pour la méridienne qui le trace et que celle-ci est symétrique par rapport à l'axe ; autrement, il est singulier.

Exception faite de pareils points, tous ceux d'un même parallèle 'sont, soit ordinaires, soit singuliers, tous en même temps, et cela, selon que la trace de ce parallèle sur une méridienne est, pour celle-ci, un point ordinaire ou singulier {Cf. 479, 491).

Rien de ceci ne peut être démontré en Géométrie élémentaire. Il est évident toutefois qu'un point axial de la surface est singu; lier, quand la méridienne y possède une tangente oblique à l'axe ; car alors, les tangentes menées en ce point à toutes les méridiennes sont situées sur un cône de révolution, non sur un

même plan ce qui aurait lieu pourtant si le point en question était ordinaire (461), (Cf. 490).

Un pareil point, dont la singularité est du même genre que celle du sommet d'un cône, est un nœud de la surface de révolution ; un point ordinaire axiai en est un pôle.

Il est évident encore, que tous les points d'un parallèle sont ordinaires ou singuliers en même temps, puisque toute rotation autour de l'axe réapplique sur eux-mêmes, ce parallèle et la surface entière (625, I).

628. En tout point (ordinaire) d'une surface de révolution, le plan tangent est celui qui est élevé par la tangente à la méridienne, perpendiculairement sur le plan méridien.

En un pôle P (fig. 173), la tangente PT à une méridienne est perpendiculaire sur l'axe (627), celles à toutes les autres PT', ..., le sont aussi par conséquent; toutes sont donc dans le plan mené par l'une d'elles perpendiculairement à l'axe. Ce plan est bien tangent en P à la surface, puisqu'il contient les tangentes à deux lignes, et bien davantage, tracées par lui sur celle-ci (461).

En tout autre point M, le plan tangent passe par les tangentes MT", MT'" à la méridienne et au parallèle. Il est donc bien perpendiculaire au plan méridien, puisque celui-ci passe par l'axe, et qu'ainsi la seconde de ces tangentes lui est perpendiculaire (619).

629. En un point quelconque M d'une surface de révolution {fig. 173), la normale MX (463) se confond avec la normale principale en M à la méridienne qui passe par ce point (453).

Cette droite MN est une des normales de la méridienne en M, parce qu'elle jouit de cette propriété relativement à toute ligne tracée sur la surface par son pied ; pour la même raison, elle est normale aussi au parallèle passant par M. Elle est donc située dans le plan passant par M et par l'axe du parallèle (621), c'est-à-dire dans le plan de la méridienne, puisque cet axe se confond avec celui de la surface.

S'il s'agissait d'un pôle P, la normale à la surface se confondrait avec son axe, normale commune à toutes les méridiennes (627).

On remarquera qu'une normale et l'axe sont toujours dans un même plan, que ce plan méridien est normal à la surface en tous les points de sa méridienne, et que toutes les normales dont les pieds sont sur une même parallèle concourent en un même point de l'axe, ou lui sont parallèles.

630. Quand, dans un même plan méridien de deux surfaces de révolution de même axe A,, leurs méridiennes ont un point commun M étranger à l'a.ve, s'y coupant sous un angle a (456) ou y ayant un contact, les surfaces se coupent sous le même angle a (465) en chaque point de leur parallèle commun passant par M