CHAPITRE XXIII

Sécantes rectilignes, plans diamétraux. — Sections planes, diamètres.

632. Le lieu des points de l'espace qui sont à une même distance donnée r (non nulle) d'un point fixe O, est une surface portant le nom de sphère ; le point fixe O est son centre, la distance uniforme r de chacun de ses points à celui-ci est son rayon. L'identité de cette définition et de celle d'un cercle considéré dans son propre plan (497 1, fait pressentir, pour la sphère, l'existence d'un très grand nombre de propriétés tout à fait analogues à celles du cercle, n'intéressant avec lai que des objets situés dans le même plan. Maintes fois nous verrons cette prévision se confirmer, et nous pourrons, en conséquence, remplacer des démonstrations développées, par de simples références à des raisonnements presque identiques, faits déjà pour le cercle.

L Tout déplacement d'une sphère qui laisse son centre immobile, ne fait que la réappliquer sur sa position primitive. Inversement, une surface est une sphère, quand elle est continue, et quelle se réapplique sur elle-même par tout déplacement de ce genre (498, I).

Comme le plan, la sphère peut donc glisser indéfiniment sur elle-même, et la fixité de son centre prescrit la forme sphérique pour un corps solide et ses appuis, quand ce corps doit être guidé dans des mouvements indéfinis, laissant fixe un de ses points.

II. Une sphère est symétrique par rapport à son centre 0, et encore par rapport ri tout plan, ci toute droite, passant par ce point (C/. V, 633, 634, m/.).

Raisonnements tout semblables à celui du n'^ 498, II.

III. Toute droite passant par le centre d'une sphère, la coupe en deux points limitant sur elle un segment dont le milieu est au centre de la surface, dont la longueur est le double du rayon. Tout plan de ce genre la coupe suivant un cercle de mêmes centre et rayon.

Ces propriétés évidentes (497) sont renfermées dans celles des

PHEMIICI'.KS l'ROPRIlÎTÉS. 347

nos 633 et suiv. dnf.}; mais nous les mettons présentement en saillie, i)arce qu'elles nous seront utiles à l'instant, et à cause de l'imporlance relative très grande de ces sections planes, toutes égales entre elles, que l'on nomme les qrands cercles de la sphère (C/. 635, IV, m/.).

IV. Une sphère est une figure continue. Car, sur elle et entre deux quelconques A, B de ses points, on peut tracer une ligne continue, savoir un arc AB du grand cercle résultant de sa section parle plan AOB (III), (498, III).

V. Une sphère est une surface de révolution (625) admettant pour axe, toute droite -As issue de son centre 0, aijant pour méridiennes les grands cercles dont les plans passent par -U (III), ayant pour équateur unique (631) celui dont le plan est issu de O perpendiculairement à cet axe.

La droite A^ est un axe de révolution, parce que toute rotation de la sphère autour d'elle laisse immobile le centre O situé sur celle-ci, et réapplique ainsi la surface sur elle-même (I), (625, I). Les méridiennes sont des grands cercles, puisque leurs plans passent par le centre O (III). Comme enfin, sur chaque méridienne, le ra3'on allant au point de contact d'une tangente parallèle à l'axe -A. diamètre commun à tous ces cercles, est une perpendiculaire en O à cette droite (517), ces points de contact sont les traces des méridiennes sur le plan élevé en 0 perpendiculairement à l'axe, traces dont le lieu est bien le grand cercle mentionné dans l'énoncé.

Les méridiennes coupent l'axe en deux mémos points P, P', qui sont les extrémités du segment de milieu O, intercepté sur l'axe =,i\i) par la sphère, et qui sont ordinaires pour toutes. Chacune, en outre, est symétrique par rapport à la droite PP' (ou J^). Ces points P, P' sont donc des pôles (627).

La figure 17-1 montre (en perspective) le centre O d'une sphère, une droite -l^ issue de lui, les pôles P, P' de la surface considérée comme étant de révolution autour de cet axe, des méridiennes PEP', ... et des parallèles parmi lesquels l'équateur E.

Cette conception de la sphère, qui abrège beaucoup son étude théorique, est capitale dans toutes les questions astronomiques. Il serait bien facile de prouver inversement, qu'une surface admettant pour axes de révolution deux droites distinctes qui se rencontrent, est une sphère dont le centre est le point de concours de ces droites. Cette proposition est la base du procédé employé par les tourneurs, pour tailler des corps sphériques comme des billes de billard.

VI. Deux sphères quelconques sont des fujures semblables, directement et inversement aussi. Comme au no 498, IV ; les centres sont toujours des points homologues

633. Une droite a en comnmn avec une sphère deu.v points 'SÏ^,

Mç^(fig. 175), an seul M, ou aucun, selon que sa distance On au centre est inférieure, égale, ou supérieure au rayon, c'est-à-dire selon que d, pied aussi du plan abaissé du centre perpendiculairement à la sécante, est intérieur au grand cercle tO tracé sur ce plan par la sphère, lui appartient, ou lui est extérieur (632, III), (500).

Dans les deux premiers cas, le pied a est le milieu du segment M, Mo , ou MM ; par suite, il a pour lieu le plan cô, quand la sécante se déplace en restant parallèle à une droite fixe.

Les points où la sécante rencontre la sphère, se confondent évidemment avec ceux où elle coupe la trace sur la sphère, d'une surface auxiliaire quelconque menée par elle, en particulier du plan déterminé par elle et le centre.

D'où la plus grande partie de notre énoncé, cette trace G étant alors un grand cercle, c'est-à-dire un cercle ayant même centre et même rayon que la sphère (499 et suiu.).

La dernière partie résulte de ce que, sur chaque sécante, le pied d de la perpendiculaire Oa est aussi bien celui du plan perpendiculaire issu du centre, et de ce que ce plan est le même pour des sécantes parallèles.

Le lieu en question se nomme le plan diamétral de la sphère, conjugué à la direction commune des sécantes.

634. Un plan coupe une sphère suivant un cercle p (fig. 176), la rencontre en un seul point, ou bien ne la rencontre pas, selon que sa distance Oa au centre est inférieure, égale, ou supérieure au rayon, c'est-à-dire selon que a, pied de cette distance, est à V intérieur du segment PP' que la sphère découpe sur la droite Osi, en une de ses extrémités, ou à V extérieur (632, III).

Dans le premier cas, la droite On est l'axe du cercle ; par suite, le centre a de ce cercle a pour lieu la droite PP' quand le plcui sécant se déplace en restant parallèle à un plan fixe.

La sphère et le plan sécant étant deux surfaces de révolution autour d'un même axe, savoir la droite OtdPP' menée perpendiculairement au second par le centre O de la première (632, V), (626, I), leur intersection ne peut se composer que de parallèles (625, VI); et on obtiendra évidemment des points de ces cercles en prenant les intersections de méridiennes des deux surfaces, situées dans quelque même plan issu de leur axe commun. Ces méridiennes sont, pour la sphère, un grand cercle POILP', pour le plan sécant, une droite am située dans le plan de ce grand cercle et perpendiculaire en sj à son diamètre PP'. Quand On est inférieure au rayon, les méridiennes se coupent donc en deux points mj, nu qui sont distincts, mais ne donnent qu'un seul parallèle p de centre n, à cause de la symétrie de ces points par rapport à PP' diamètre du grand cercle et axe des deux surfaces (618, II). Quand On égale ou surpasse le rayon, elles et les

PLANS DIAMÉTRAUX, DIAMKTKKS. 3-19

surfaces n'ont en commun qu'un point situé sur l'axe, ou bien elles ne se rencontrent pas.

Si enfui, le plan sécant vient à se déplacer parallèlement à un plan fixe, sa perpendiculaire issue du centre de la sphère restera fixe, constituant ainsi le lieu du centre de la section.

Ce lieu est le diamètre de la sphère, conjugué à la direction commune des plans sécants parallèles.

635. Les deux propositions précédentes seront complétées utilement par diverses observations.

I. Renuuxiuons d'abortl, qu'elles impliquent les symétries de la sphère par rapport aux plans et aux droites passant par son centre (632, II), (618, II).

II. La sphère est une surface courbe, puisque, sur un plan quelconque, elle ne peut avoir d'autres points qu'un seul, ou ceux d'une ligne (634), (449).

III. Des droites et des plans issus d'un même point donné I étranger à une sphère, la rencontrent tous, ou non tous, selon que sa distance 01 au centre est inférieure ou supérieure au rayon {Cf. 500). Suivant qu'il s'agit du premier de ces cas ou du second, on dit que le point I est intérieur ou extérieur à la sphère.

IV. Entre r, rayon d'une sphère, d, distance d'une droite ou d'un plan à son centre, et t, moitié du segment que la surface découpe sur la droite ou rayon du cercle qu'elle trace sur le plan, on a la relation

P + d-^ = r2 {Cf. 503).

C'est ce que rend évident, comme au lieu cité, la considération des triangles OrsM, (fig. 175) Oanii (fig. 176), tous deux rectangles en a.

Parmi les segments de cette sorte, les plus grands sont donc ceux situés sur les diamètres, tous égaux entre eux et au double du rayon, dit aussi diamètres de la sphère.

Parmi les cercles du même genre, ceux de plus grands rayons sont fournis également par les plans diamétraux. Ce sont ainsi les grands cercles de la sphère (632, III), d'où cette dénomination, et, par opposition, celle de petits cercles donnée à tous les autres.

V. D'une observation faite ci-dessus (IV), il résulte que la sphère est une figure limitée (289). On nomme hémisphère chacune des deux parties égales (632, V), (625, II) en lesquelles la surface est décomposée par tout plan diamétral.

VI. Trois droites menées par le centre d'une sphère, chacune perpendiculairement aux deux autres, et les trois plans qu'elles déterminent deux à deux dans les mêmes conditions de pcrpendicularité mutuelle, c'est-à-dire les arêtes et faces d'un même

trièdre trirectangle (352) ayant son sommet au centre de la surface, présentent une réciprocité à remarquer. Chaque plan est efTectivement diamétral et conjugué à la direction de l'intersection des deux autres (633), et chaque droite est le diamètre conjugué à la direction du plan des deux autres (634). On formule cette double réciprocité en disant iniitiicllement conjugués, les trois plans diamétraux et aussi les trois diamètres.

636. Le carré d'une demi-corde de la sphère raM, (fig. 175) est égal à la puissance de son pied d par rapport au grand cercle (D, dont le plan lui est conjugué (633). Dans le grand cercle MMiM'iM.^ auquel cette corde appartient aussi, on a effectivement sjM, = rsM . 5jM' (505), et ce produit est bien la puissance de a par rapport au cercle Cô (528).

Le carré du rayon d'une section plane, <>In^ (fig. 176), est égal à la puissance du centre -i de ce cercle par rapport à la paire P, P' des extrémités du diamètre conjugué au plan de ce cercle, est égal au produit toP.siP', voulons-nous dire. Car le grand cercle Pm,P'mç, dont le plan contient ce rayon, donne ts/n,"^ kiP.cjP'.

637. Deux cordes MA, 'SIB joignant un même point M de la sphère aux extrémités A, B d'un diamètre sont conjuguées, c'està-dire parallèles à quelque diamètre et à son plan diamétral conjugué. Car la considération du grand cercle de plan AMB montre immédiatement que ces cordes sont perpendiculaires l'une à l'autre (506j.

Réciproquement, l'intersection M d'une droite et d'un plan menés perpendiculairement l'un à l'autre par deux points fixes A, B, a pour lieu la sphère décrite sur AB comme diamètre. Car l'angle rectiligne AMB étant droit, le point M appartient toujours au cercle décrit sur AB comme diamètre dans le plan AMB {Ibid.); d'où, en appelant 0 le milieu de AB, OM = OA = OB.

638. Une circonférence coupe une sphère en deux points au plus, ou bien y est située tout entière.

Les points communs à ces deux figures ne peuvent être que ceux communs à la circonférence considérée et à celle que son plan peut tracer sur la sphère (634). Si donc ces deux circonférences coïncident, la proposée est située tout entière sur la sphère ; sinon, elles ne peuvent se couper en plus de deux points (576).

639. Par an cercle w (fig. 177) et un point A hors de son plan, ou bien par quatre points A, B, C, D non situés dans un même plan, on peut toujours fiiire passer une sphère, mais une seule.

I. Le centre de la sphère cherchée doit être situé sur l'axe J^ du cercle donné, parce qu'il est équidistant de tous les points de ce cercle (618, III); pour une raison semblable (253), il doit

SPIIKRi: DLTEUMIXÉE PAR QUATRE POINTS. 3.')1

être encore sur le plan $ élevé perpendiculairement, et en son milieu a, au segment AB unissant le point A à un point quelconque B du cercle. Cet axe À, et ce plan '-^S ne peuvent d'ailleurs être parallèles; car autrement, <j? serait perpendiculaire au plan du cercle, et, contrairement à l'iiypoliièse, la droite BA issue perpendiculairement à 'P, d'un point B de l'autre plan, serait tout entière dans celui-ci.

La droite -'U et le i)lan 'P se rencontrent donc en un certain point O, équidislant de A, de B, ainsi que de tous les points du cercle, et la sphère unique, de centre O, de rayon OA := OB, est celle que l'on cherchait.

II. Les trois points B, C, D (Jig. 177), pris arbitrairement parmi les proposés, ne peuvent être en ligne droite, puisque, autrement, tous quatre seraient dans un même plan ; par eux, on peut donc faire passer un cercle unique oi (507), et le problème revient à la construction de la sphère déterminée par le cercle et le quatrième point A (I).

Mais le tracé du cercle auxiliaire w n'est pas nécessaire : il suffît de chercher son axe, en prenant, par exemple, l'intersection des plans élevés perpendiculairement et en leurs milieux ^, x, sur les segments CB, CD (618, 111).

640. La sphère qui passe par les quatre points A, B, C, D, est circonscrite au tétraèdre ABCD, et d'après ce que nous venons de voir, son centre se trouve, à la fois : 1° sur chacun des quatre axes des cercles circonscrits aux faces de ce tétraèdre ; 2° sur chacun des six plans élevés perpendiculairement aux arêtes par leurs milieux.

Ces quatre droites et ces six plans concourent donc en un même point, centre de la sphère circonscrite au tétraèdre {Cf. 508 .

Tangentes et plans tangents. — Cône et cylindre circonscrits.

641. Tout point M d'une sphère O est ordinaire, et les tangentes, son plan tangent en ce point, sont les droites, le plan, menés par lui, perpendiculairement au rayon OM {Cf. 510).

Ceci résulte immédiatement de ce que la sphère peut être considérée comme une surface de révolution ayant pour axe le diamètre OM, pour méridienne un grand cercle de rayon OM (632, V), courbe symétrique par rapport à cet axe et y ayant en M un point ordinaire (628). On arriverait à la même conclusion en considérant la sphère comme une surface de révolution ayant pour axe tout autre diamètre (Ibid.).

Les tangentes, le plan tangent, sont ainsi parallèles au plan

diamétral dont la direction est conjuguée à celle du diamètre passant par le point de contact. Leurs distances au centre sont toutes deux égales au rayon de la sphère; par suite, tous leurs points sont extérieurs à la surface, sauf celui de contact (635, III). Ces droites, ces plans, se confondent donc avec ceux dont cliacun rencontre la sphère en un point seulement (633), (634); et, pour obtenir leurs points de contact, il faut les couper par des plans ou des droites perpendiculaires issus du centre.

642. Par toute droite donnée J, on peut mener à une sphère O, deux plans tangents, un seul, ou aucun, selon que sa distance au centre est supérieure, égale ou inférieure au rayon (Cf. 513).

La dernière partie est évidente puisque la distance au centre, de tout plan passant par 3, ne peut excéder celle de cette droite, inférieure au rayon (277), ne peut, par suite, devenir égale au rayon, distance commune de tous les plans tangents (641). La seconde l'est aussi pour la môme cause, le plan tangent unique étant alors le plan mené par 3, perpendiculairement au rayon aboutissant au point de contact de cette droite.

Dans la première hypothèse, soit M le point de contact de quelque plan tangent OM issu de J. Cette droite étant située dans ce plan qui est perpendiculaire sur le rayon OM {Ibid.), celui-ci, réciproquement, est situé dans le plan 'P mené par O perpendiculairement sur elle (93), plan coupant ainsi cette droite en son pied 1 {fig. 124), le plan tangent suivant la droite IM perpendiculaire en M au rayon OM, tangente par suite en M au grand cercle KMK' tracé sur la sphère par le plan 'i? (que nous avons pris pour celui de la figure).

Les points tels que M ne peuvent donc différer des contacts des tangentes au grand cercle issues de L Or ces points existent au nombre de deux M, N, parce que le point I appartenant à la droite 3, est extérieur au grand cercle comme à la sphère (513), et les plans menés par les tangentes LM, IN, perpendiculairement aux rayons OM, OX sont évidemment les plans tangents mentionnés dans notre énoncé.

On les obtiendra ainsi en coupant la sphère par la polaire du point I dans le grand cercle en question (515), c'est-à-dire évidemment, par une droite A (MPN sur la figure) élevée perpendiculairement au plan 0.3, par un point P du diamètre 01, tel que l'on ait 01.0?:=/'-, carré du rayon de la sphère.

Cette droite A des contacts des plans tangents à la sphère issue de la droite 3, se nomme la polaire de celle-ci. On voit ainsi que deux pareilles droites sont caractérisées par la triple propriété, d'être orthogonales l'une à l'autre, d'avoir un diamètre pour perpendiculaire commune, avec des distances au centre dont le produit est égal au carré du ra5'^on ; d'où résulte entre elles une réciprocité évidente permettant d'appeler I la polaire aussi