TANGENTES ET PL. TANGENTS, CÔNE ET CYL. CIRCONSCK

de A bien que, par cette dernière, aucun plan tangent ne puisse être mené à la sphère.

Les plans lauffents issus de 3, leurs points de contact, etc., sont évidemment symétriques par rap[)ort au plan diamétral 03 {Cf. 514).

643. Parallèlement à lonl plan donné, on peut mener deux plans tangents à une sphère {Cf. 517).

Leurs points de contact sont évidemment les traces sur la sphère, du diamètre conjugué à la direction du plan donné; leur distance est égale au diamètre de la sphère, remarque utilisée pour la mesure pratique du rayon d'un corps sphérique ; ces plans et leurs points de contact sont symétriques par rapport au plan diamétral qui leur est parallèle.

644. D'un sommet quelconque I extérieur à une sphère O, on peut lui mener un cône circonscrit (496 1 ; ce cône est de révolution autour du diamètre 01 (626, lllj, aijant pour ligne de contact un petit cercle dont le plan est perpendiculaire à ce diamètre, en un point P qui donne

carré du raijon de la sphère (Cf. 513).

La sphère étant autour de l'axe 01 (fig. 124) une surface de révolution dont la méridienne est un grand cercle KMK'N passant par les traces K, K' de ce diamètre sur la splière (632, V), tout cône circonscrit de sommet I sera de révolution autour de 01 aussi, ayant pour génératrice une tangente à ce grand cercle issue de I (631). Or, I étant extérieur au grand cercle comme à la sphère, ces tangentes sont au nombre de deux, également inclinées sur 01 (514), ne donnant par suite qu'un seul cône; et le parallèle de contact est un cercle de la sphère, dont le plan est perpendiculaire à l'axe 01 en un point P, trace aussi de la polaire de I par rapport au grand cercle, d'où la relation (1).

Le plan du parallèle de contact se nomme le plan polaire du point I par rapport à la sphère, et ce point est dit son pôle ; il est perpendiculaire au diamètre 01, à une distance du centre égale à r2 : 01 {Cf. 515).

On voit encore, que les tangentes issues de I sont de longueurs

toutes égales à Vôf — /•'-, également inclinées sur 10, normales en outre au petit cercle lieu de leurs contacts.

Si le point I était sur la sphère, le cône circonscrit ne serait plus que le plan tangent en I ; il disparaît quand I est intérieur.

645. Dans toute direction donnée, on peut mener un cylindre circonscrit à une sphère (485^ ; // est de révolution autour du

diamètre LÏ^ parallèle à cette direction, et sa ligne de contact est le grand cercle dont le plan est conjugué à la même direction {Cf. 517).

On raisonne exactement comme ci-dessus (644), après avoir remarqué que la sphère est de révolution autour du diamètre (0, la méridienne étant un grand cercle de même diamètre, auquel, en conséquence, on peut mener, parallèlement à la direction donnée, deux tangentes qui sont sj'métriques par rapport à l'axe. (On peut invoquer tout aussi bien le n° 631 bis.)

On voit, en même temps, qjne tout grand cercle de la sphère peut jouer le rôle d'équateur (631, in fine).

La propriété harmonique de la polaire d'un point dans le cercle (530) s'étend bien facilement à un système, soit de deux droites mutuellement polaires relativement à une sphère (642), soit d'un pôle et de son plan polaire (644). Mais nous devons omettre tout développement à ce sujet.

Puissance cïiin point par rapport à une sphère.

646. Quand une splièrc de centre O et de rayon r est rencontrée par plusieurs droites issues d'un même point K situé à une distance d de son centre, les propositions et tes formules établies pour le cercle ùax /r" 522, 523, sont textuellement applicables. Mêmes démonstrations.

Le produit KM'. KM", constant pour un même point K, est sa puissance par rapport à la s|)hère considérée ; il est évidemment égal à la puissance du même point par rapport à tout cercle de la sphère, dont le plan y passe.

647. Pour que soient situés sur quelque même sphère : l, soit un cercle o>et deux points A, B, hors de son plan; II, soit 5 points donnés A, B, C, D, E, dont quatre quelconques ne sont pas dans un même plan ; III, soit deux cercles w, u, dont les plans diffèrent, il faut et il suffit: I, que 1'^ si la droite AB rencontre le plan du cercle o en K, les puissances de ce point par rapport au cercle et au segment AB (636) soient égales ; 2° si elle lui est parallèle, ce segment soit perpendiculaire au plan conduit par son milieu et l'axe du cercle co ; II, que ces mêmes conditions soient remplies par deux des 5 points choisis arbitrairement et le cercle passant par les trois autres; III, que 1° si les plans des cercles o>, u se coupent suivant une droite ,"K, tout point de cette droite ait des puissances égales par rapport à Fun et à l'autre; 2° si ces plans sont parallèles, les axes de ces deux cercles se confondent (Cf. 524).

I. 1° La puissance de K, par rapport au cercle w, étant identique à celle du même point par rapport à toute sphère passant

l'IISS.WCI-: l/UN POINT PAK l{Al'l>()liT A VKE SPIIKHIi:. 355

par ccliii-ci, en parliculior par rajjport à celle pouvant être conduile par ce cercle el le point A (639), le point B est bien situé sur cette sphère, puisfpie le produit KA.KB est é.^al à la puissance de K par rapport à elle (646).

2' Il est évident qu'alors le point li est situé sur la s[)hére déterminée par le point A et le cercle lo.

II, III. Les démonstrations se font de la même manière.

(Fn outre : I, 2", le point K doit être intérieur au segment AB et au cercle co à la fois, ou extérieur; etc.)

Nornidlcs cl plans nonnaiix.

64S. Eli chaque point M, d'une sphère (), la normale est le raijon CM (jni passe j)ar ce point (463), (641).

Inversement, tant diamètre 01 est normal à la sphère en chacune de ses traces M, M' sur elle (532), et, parmi les deux longueurs IM, IM' des normales pouvant ainsi être menées de I, celle qui ne contient pas le centre O est la plus courte distance de ce point à ceux de la sphère, Vautre contencmt le centre est la plus grande. Quand I est au centre, toute droite y passant est normale, donnant une longueur constante égale au rayon (534).

Tout plan normal passe par le centre de la sphère ; tout plan diamétral lui est normal en chaque point du grand cercle suivant lequel il la coupe (Cf. 632, V; 629). ■