PRINCIPAUX LIEUX SPHERIQUES. — SYSTÈMES DE DEUX, DE TROIS SPHÈRES

Lieux divers.

649. Dans une figure semblable, le lien de Thomologue d'un point d'une sphère, en est une autre dont le centre et le rayon sont les homologues de ceux de la proposée (551), {Cf. 663, iiif.).

650. Rclatirement à une sphère donncâ, le lieu des points tous intérieurs, ou bien tous extérieurs) dont les puissances sont égales à une même quantité donnée, est une sphère concentrique (552).

651. Les lettres P, Q, p, q, Q aiiant les mêmes significations qnaa /i" 553, le lien des points M de l'espace, donnant

p.pm'±9 QM' = e,

est une sphère dont le centre et te rayon se déterminent comme ceux du cercle mentionné au lieu cité.

On remarquera que, dans l'espace, le lieu du w 555 se change en un plan perpendiculaire à RS (253), ou en une sphère ayant son centre sur cette droite, dont le pied, ou le centre et le diamètre, se déterminent d'une mcmière identique.

652. En conservant leurs significations aux lettres P, p, u, G du n" 558, m(ds en substituant un plan à la droite qu'y représentait la lettre U, le lieu des points M de l'espace, assujettis à la condition

p.PM' ±u.l]M—e,

est en général une sphère ayant son centre sur la droite issue de P, perpendiculairement au plan U,

653. On étendra presque aussi facilement à l'espace le tliéorème général du n» 562, quand nous aurons indiqué la même extension pour ses préliminaires. Nous conserv'erons la plupart des notations des n"^ 55& et suivants, dont nos renvois viseront les formules.

I. La proposition du ;i» 559 subsiste pour les points ((i) transjiorlcs arbitrairement dans l'espace, -moyennant qu'un plan soil substitue à la droite représentée par OR/.

1» En considérant trois droites 311/', 311/ ", 311/' ', concourantes mais non situées dans un même plan, on prouvera de la même manière, que la projection G' de G faite sur la première, parallèlement au plan 31V OÏL-' ' des deu.x autres, est le centre de gravité de P'j, . . ., P'^. projections des points (0) chargées des mêmes masses (7) ; et de même, en projetant sur 3TL ' parallèlement au plan 311/" 311/', puis sur 3îl/"' parallèlement au plan 3l0'31'L/ ". Le point G se trouve donc à l'intersection des plans menés parallèlement à 31o"3TL' ", 311/' '31X/', OII/'OII/", par G', G", G"' respectivement, et cela indépendamment de l'ordre dans lequel on aura pu considérer les points (6) pour le construire.

Cela posé, le point G est, par définition, le centre de gravité des points (G) chargés des masses (7).

2o Les droites 311-', DÏL", 311/' ' étant arbitraires, on obtiendra la relation 9) en prenant ^TTO", 311''" dans le plan 311/, en donnant à 3H/' la direction dans laquelle il faut mesurer les distances algébriques, et en écrivant pour elle la relation (4) du n» 137 entre les projections P'i, ..., P't des points (6), G' de leur centre de gravité et AI trace du plan 3TI/ sur la droite 3l0'.

3» On constatera par les mêmes moyens, que, sur tout plan et parallèlement à toute droite, la projection du centre de gravité G est celui des projections des points (G), chargées des mêmes masses (7), (Cf. 1").

4" L'observation finale du n" 559, III demeure applicable, et permet d'assigner des droites et des plans, très nombreux quelquefois, qui con-

p. DONT I,i:S DISTANCKS A DES P. KT DHOITF.S FIXES, ETC. 357

courent an ccntix' de gravité. Par exemple, les druilcs joignant danx an téliaèdre, chaque sommet an concours des médianes de la face opposée, le milieu de chaque aréle éi celui de son opposée, se rencontrent toutes en un même point.

II. L'identité (10) et sa conséquence subsistent dans l'espace. .Mêmes démonstrations fondées sur les conclusions de l'alinéa I.

III. Le cas où la restriction (8) est levée, ouvre une discussion toute semblable à celle du u" 561; nous devons la laisser au.\ soins du lecteur, qui n'aura pas de peine à en apercevoir les incidents.

654. En prenant les points (6) arbitrairement dans l'espace, substituant des plans aux droites représentées par des lettres U, et sauf certains cas d'imjjossibilité, le lieu des points M de l'espace qui remplissent la condition (16), est une sphère quand l'inégalité (8) a lieu, un plan dans le cas contraire. On raisonnera de la même manière, en s'appuN'ant sur les considérations ci-dessus (653).

Si l'on imposait aux points M deux conditions (distinctes) du genre de (!()), leur lieu deviendrait évidemment l'intersection de ceux correspondant à cliacunc d'elles considérée isolément, c'est-à-dire un cercle (661, inf.), (634) ou une droite (sauf impossibilité).

655. Le lien des points M de l'espace, d'où ron voit un même segment AB, lanlùl sous un angle conslaiit donné, lanlùt sons son sn])plément (563), est le tore (626, Vi qui a pour axe la droite AB el pour méridienne le cercle auquel ce tien se réduit quand on assujetlit les points M à être situés dans quelque plan passant par la droite AB (564).

C'est ce que rend évident la section du lieu par les plans de ce genre. Quand l'angle donné n'est pas droit, le cercle méridienne coupe l'axe obliquement, et le tore a des nœuds en A et en B (627 1. Quand il est droit, la surface dégénère en une sphère (double) de diamètre AB (637).

Figures inverses (riin plan, ciiine sphère, cVune circonférence.

656. L'inversion des figures dans l'espace se définit absolument comme dans un plan (571 et suiv.), et jouit à fort peu près des mêmes propriétés. Ce que nous avons dit au lieu cité n'exige effectivement que les modifications suivantes.

I. Quand il y a des points doubles {inversion positive), leur lieu est une sphère décrite de l'origine comme centre, avec un rayon égal encore à la racine carrée de la puissance de l'inversion {Ibid. IV).

II. En des points correspondants M, M' de deux lignes ou de deux surfaces inverses, les tangentes dans le premier cas, les plans tangents dans le second, sont symétriques par rapport au plan perpendiculcdre au segment MM' en son milieu.

Pour deux lignes, la démonstration se fait exactement comme celle du n» 572 ; après quoi, elle s'étend immédiatement aux plans tangents à deux surfaces.

III. En deux points correspondants M, M', deux lignes dans une figure, on une ligne et une surface, ou deux surfaces, se coupent sous des angles toujours égaux à ceux formés ])ar les objets corresl)ond(Uits dans une figure inverse ; ou bien elles sont tangentes dans Claque figure, en même temps que les objets correspondants dans l'autre.

Dans chaque cas efTectivement, deux anglec correspondants ont leurs côtés ou faces respectivement symétriques par rapport au plan élevé perpendiculairement sur le segment ^IM', on son point milieu (II), (418, III).

657. Qu(uid un plan passe par l'origine, il est évident que son inverse est un plan se confondtuit avec lui. Autrement, son inverse est une sphère agant pour diamètre le segment compris entre l'origine I et l'inverse P' (/// j)ied P de la distance de celte origine au plan considéré.

Si effectivement, M est un point quelconque du plan et M' son inverse, on prouvera comme au ii» 574, que l'angle IM'P' est toujours droit (637).

658. Quand une sphèiT O passe par l'origine, son inverse est le plan perpendiculaire élevé sur le diamètre 10 issu de l'origine, par le point P inverse de l'autre extrémité P' du même diamètre.

Autrement, l'inverse est une nouvelle sphère se confondant avec l'homothétique de la proposée relativement ci l'origine I et au rapport 3 : H on 3, II représentent la puissance de l'inversion et celle de son centre I par rapport « cette proposée.

Cette proposition s'appuie sur celle du n" 649, et se démontre par les mêmes mojens que celle du no 575; on en tire une conclusion toute semblable, relativement à la nature sphérique des surfaces doubles de l'inversion (Ibid., III).

659. Une circonférence quelconque ne passant pas par l'origine a pour figure inverse une autre circonférence.

Soient effectivement 8 cette circonférence, 'i* son plan, y la sphère passant par elle et l'origine (639), puis S', <J;^', y" les inverses de ces trois figures. Les surfaces y." et tf' étant une sphère (657) et un plan (658), la ligne £', qui est évidemment leur intersection, est bien une circonférence (634).

6€0. Os diverses pro])ositions sont extrêmement utiles dans certaines théories impUquant la considération fréquente de sphères et de cercles dans l'espace. En voici des applications fort intéressantes.