I. En prenant pour origine un point quelconque I (fig

iNVKKsioN DLN Pi^.VN, d'inic si'iiKui:, ij'ln criRCLi:. 359

d'iiiic s[)lière de ccnlrc O, de rayon /•, et pour puissance la quantité 2/--', il résulte du n' 658, que la sphère a pour inverse son jdan diamétral 00 perpendiculaire à 01, et tout point M marqué sur elle, toute lit^ne tracée sur elle, seront représentés sur ce lahlcdu plan, |)ar la trace M' de la droite IM, par celle du cône ayant le point de une I pour sommet, la li^ne considérée pour directrice. C'est en cela que consiste la projection stéréographiqiie servant à représenter sur un plan, non exactement, on en démontre ailleurs l'impossibilité, mais avec une fidélité suffisante, les points, les lignes, etc., de la sphère constituée par la surface de la terre, ou idéalement par le champ des corps célestes. La propriété fondamonlale de ce mode de représentation se résume dans l'énoncé suivant

L'angle de den.v lignes surin sj)hère est toujours égal à celui de leurs représenl(uites (636, III), et tout cercle 3 de la sphère {ne passaid pas par I) est représenté par un cercle £' dont le centre (o est la trace de la droite IS joignant le point de vue I au sommet S du cône circonscrit à la sphère suivant le cercle S (644).

1° Le premier point est évident, puisque 3' est la figure inverse d'une circonférence 3 (659).

2'^ Soient u la trace de la demi-droite IS sur la sphère, et uM l'arc de cercle tracé aussi sur elle par l'intérieur (plan) de l'angle saillant SIM (634). Nous savons que le segment ojM' et le cercle S' se coupent sous le même angle que cet arc uM et le cercle 3, représentés évidemment par eux. Or ce dernier angle est droit, car la tangente en M à l'arc est la trace de son plan sur le plan tangent en M à la sphère, c'est-à-dire la génératrice MS du cône circonscrit suivant 3 à la sphère, et cette génératrice, puisque le cône est de révolution, est une normale à son parallèle 3 (626, III). Dans toutes ses positions, qui sont en nombre illimité, le segment (.jM' est, par suite, normal au cercle 3' ; son extrémité fixe w coïncide donc avec le centre de ce cercle, car autrement, une seule normale pourrait passer par elle (533).

II. Quand un cône de sommet I a pour directrice un cercle 3 d'une sphère O, // recoupe celle-ci suivant un autre cercle.

Car la seconde trace M' d'une génératrice du cône, passant par un point M du cercle 3, est le correspondant de M dans une inversion dont l'origine est I, dont la puissance est celle de ce point I par rapport à la sphère (646), (659).

III. Si l'on substitue au cône ci-dessus (II), un cylindre quelconque ayant toujours pour directrice un cercle 3 de la sphère, ce cylindre recoupe encore cette surface suivant un autre cercle.

Comme le plan diamétral de la sphère, ({ui est perpendiculaire sur les génératrices du cylindre, est un plan de symétrie commun aux deux surfaces (476, II), (632, II), ie second cercle est évidemment le symétrique du premier par rapport à ce plan (551).

IV. Quand un cône ou un cylindre sont circulaires, c'est-à-dire admettent un cercle pour directrice, ils sont encore coupés suivant un cercle, par tout plan parallèle à celui de cette directrice (488, I), (477, I), (551); mais, s'ils ne sont pas de révolution, il existe en outre une autre direction de plans cycliques, c'est-àzdire les coupant suivant des cercles.

Car, si on fait passer une sphère par un des cercles du premier groupe, elle recoupe suivant un autre cercle, le cône ou le cylindre proposés (II), (III).

Système de deux sphères.

661. L'ensemble de deux sphères admet pour axe de révolution et pour plans de symétrie, toute droite et tout plan passant par leur centre commun quand elles sont concentriques, mais la droite de leur centre seulement et les plans passant par clic, quand elles ne le sont pas (632, V, II).

Dans le premier cas, elles n'ont aucun point commun, ou se confondent, selon que leurs rayons sont inégaux, ou non.

Dans le second, et si R ^ /' désignent leurs rayons, leurs points communs sont ceux de l'intersection de l'une quelconque d'entre elles par le plan perpendiculaire à la droite des centres, lieu des points dont les carrés des dislances à ces centres ont une différence égale à R^ — r- (576j. (251), (634).

Ce plan est le plan radical des deux sphères.

Cette intersection se discute exactement comme pour deux cercles dans un même plan, et on est conduit aux mêmes résultats (578). Quand elle existe et ne se réduit pas à un simple point de la droite des centres, elle est donc un cercle ayant cette droite pour axe (634).

662. Le plan radical de deux sphères est le lieu des points d'égales puissances par rapport à l'une et à l'autre (579), ou bien d'où les longueurs des tangentes menées à ces surfaces sont égales (644).

663. Deux sphères appartiennent de deux manières à des figures homothétiques entre elles, les unes directement, les autres inversement, mais où les centres sont toujours des points homologues (580).

Quand leurs rayons R, r sont inégaux, les centres de ces deux homothéties divisent le segment des centres dans le rapport R : r, extérieurement et intérieurement. Quand ils sont égaux, le centre de l'homothétie directe disparaît, les sphères sont superposables par une translation égale et parallèle au segment limité par les centres ; le centre de l'homothétie inverse est alors le milieu de ce segment.