CHAPITRE III

Mouvement de rotation. — Perpendicularité en général.

83. La considération d'une certaine variété du glissement général d'un plan mobile sur un plan fixe (20, IV) nous a conduits à la notion du mouvement de translation (35 et siiiv.). Dans une autre particularisation, nous allons puiser celle d'un nouveau mouvement d'une importance presque égale.

L Une demi-droite mobile t (24) peut glisser indéfiniment sur un plan fixe U^ (20, IV) de manière que son origine o demeure en coïncidence constante avec un point fixe c^ marqué arbitrairement sur ce plan; et, par un déplacement de ce genre, elle peut être superposée à une demi-droite quelconque du plan 'A\ ayant O pour origine. Sa position est alors complètement déterminée (23, IV).

II. Un plan mobile l> peut glisser indéfiniment aussi sur le plan fixe 'P (20, IV), sous la condition que l'une de ses demi-droites t y soit animée du mouvement défini ci-dessus (I).

III. La position du plan mobile est complètement déterminée par celle seulement de sa demi-droite t. Car alors le sont aussi, celles de tous les points du plan qui appartiennent à cette demi-droite (33).

On caractérise ces mouvements spéciaux, en disant que la demi-droite mobile t et aussi le plan p pivotent, tournent sur le plan fixe, autour du pivot ou centre de rotation (85, inf.) O (cvtout aussi bien, puisque ces deux points demeurent confondus).

84. Une figure solide f liée au plan p est animée d'un mouvement connexe dont voici les principales circonstances.

I. Les positions de tous les points de la figure sont déterminées

complètement aussi par celle de la seule demi-droite t dans le plan fixe; car alors sont déterminées exactement celles de tous les points du plan p appartenant à cette figure (83, III), (34).

II. Outre o, il existe dans la figure mobile quelque autre point a' conservant comme celui-ci une position O' fixe dans l'espace.

Un tel point ne peut être dans le plan p, car autrement ce plan ne pouvant que glisser sur le plan 9?, y aurait ses deux points distincts o, o' fixes en 0, O' et ne pourrait plus se mouvoir (33).

III. Tous les autres points de la droite ec>' restent fixes aussi dans l'espace, puisque la coïncidence des droites ox>', 00', point avec point, est certainement assurée par celle seulement des deux points distincts i>, o' de la première, avec les points O, O' de la seconde (17, II).

Mais tout point n\, pris en dehors de cette droite co' dans la figure mobile, se déplace avec celle-ci; car, s'il restait fixe en OÏL, la figure P coïnciderait sans cesse avec sa position où les trois points o,o', nx, non en ligne droite, sont appliqués sur O, O", Olo et, par suite, serait condamnée au repos (34), au lieu de se mouvoir.

IV. Un déplacement du genre considéré peut amener tout demiplan c^ d'arête oo' dans la figure mobile (25) à coïncider avec un demi-plan quelconque 3 de l'espace, ayant 00' pour arête. Il suffira elTectivement d'amener la demi-droite mobile t, trace du

demi-plan c^ sur le plan (P, en Ç, trace de ^ sur le même plan fixe (83, I), (28).

V. En dégageant la figure mobile de la condition que son plan p pivote sur le plan 'P autour du pivot O (ou o), pour l'assujettir à cette autre de conserver fixes en V, \'^ dans l'espace, deux de ses points distincts u, p pris à volonté sur la droite oo', on la laisse libre des mêmes mouvements exactement. Soient ôT un demiplan d'arête ck>'u<^ faisant partie de notre figure mobile F, a un point pris sur lui en dehors de cette arête, et 3, cF, dh des positions de tous ces objets, acquises sous la première condition.

Les mêmes positions peuvent être acquises sous la seconde, puisqu'elle ne viole jamais la première que nous savons réalisable. Si, inversement, et cela d'une manière quelconque, on conduit tï en :5 sous la deuxième condition, ces demi-plans ne pourront manquer d'être superposés point sur point (33), puisque leur application mutuelle comporte celle des deux points a, <;^ sur V, \') respectivement ; ix notamment reviendra en 3b, et F en ^ (34).

En particulier, le mouvement de p sous cette seule condition que deux points distincts de la droite oa' restent fixes, assurera le pivotement du plan p sur 9? autour du centre o.