PLAN RADICAL, HOM0THÉTIE, ETC

664. En gcnéral, un système de deux sphères a deux cônes circonscrits communs, qui sont de révolution par rapport à la droite des centres, dont les sommets sont les centres d'homothétic (663), chacun d'eux disparaissant naturellement quand le centre correspondant est intérieur à l'une des sphères, à l'autre aussi, par suite. Si les rayons des sphères sont éyaux, l'un de ces cônes est remplacé par un cylindre de révolution autour de la droite des centres.

Les points de contact M, M' de tout plan tangent commun sont homologues dans quelqu'une des deux homottiéties existant entre les sphères, parce que leurs rayons allant à ces points sont perpendiculaires à ce plan, par suite parallèles entre eux, c'est-à-dire homologues. On en conclut que la tangente commune MM' passe par le centre de cette homothétic (403), que tout cône circonscrit commun a pour sommet un centre d'homothétic, et que tout cône de pareil sommet, qui est circonscrit à une sphère, l'est aussi à l'autre (581).

665. Quand un centre d'homothétic n'est pas situé sur les deux sphères, il est aussi l'origine d'une inversion existant entre elles.

Réciproquement, si, par une droite quelconque du plan radical, on mène un plan tangent Ç à une splière et deux 'G,, '5^ à l'autre (642), les points de contact de S et 'S, sont antihomologues relativement à un centre d'homothétic, et ceux de G, 'G., le sont par rapport ci l'autre centre (582, 583).

Deux sphères sont homologiques par rapport éi chacun de leurs centres d'homothétie, leur plan radical étant plan d'homologie dans les deux cas (585). (Ceci veut dire qu'on peut établir entre les points des deux sphères une correspondance telle, que des points correspondants sont toujours en ligne droite avec un centre d'homothétie, et que les droites joignant deux points d'une sphère et leurs correspondants sur l'autre, se coupent toujours sur le plan radical.)

Système de trois sphères.

666. S'ils ne sont pas parallèles, les plans radicaa.v de trois sphères associées successivement deux à deux (661), concourent en une droite perpendiculaire sur le plan de leurs centres, dont les traces possibles sur l'une sont les points communs à toutes trois. C'est l'axe radical des trois sphères, aj-ant évidemment pour pied sur le plan des centres, le centre radical de leurs traces sur ce plan (586).

667. En général, trois sphères possèdent quatre paires de plans tangents comnuins.

Si l'on nomme, en effet, C,, Co, les centres des homothéties

directe et inverse de la première sphère et de la seconde (663), puis r,, Tj, ceux de la première et de la troisième, un raisonnement analogue à celui du n^ 664 montrera que ces quatre paires sont issues des droites Cil^^, CoPo, Cir2, C^T^ {Cf. 581).

De là, on pourra conclure en passant, que les six centres d'homoihétie des trois sphères associées successivement deux à deux (centres appartenant aussi aux cercles tracés par ces sphères sur le plan de leurs centres) sont trois ci trois sur ces qucdre droites.

668. Les 6 plans radicaux des combinaisons deux à deux de quatre sphères, les 4 axes radicaux de leurs combinaisons trois à trois, concourent en un même point dit leur centre radical, ou bien sont parallèles ci une même droite {Cf. 586).