CHAPITRE XXVI

Aires cylindriques et coniques.

682. L'usage a donné le nom générique de corps ronds, à certaines plaques empruntées aux cylindres et cônes de révolution ou à une sphère, à des volumes limités par des plaques de ce genre ou planes, dont la Géométrie élémentaire permet de trouver les mesures, et que nous allons passer en revue.

Le désir d'al)réger nous fera glisser sur bien des détails topographiques concernant ces figures (déchevètrement de leurs contours ou périphéries, etc.), mais le lecteur suppléera sans difficulté à ces omissions.

683. Une bande ou gouttière cylindrique est une région continue et indéfinie d'un cylindre (475), dont le bord est formé par deux génératrices XA,, S.J3 {fig. 182) ; sa largeur ou collier est la longueur AB de l'arc de la section droite du cylindre qui est compris entre les traces A, B du bord.

Uaire de la plaque A,A.,B.,B|A, que découpent sur une bande cylindrique deux lignes superposables par une translation parallèle aux génératrices du cylindre, est donnée par la formule

AiA^BsB.A.^s/ (C/". 314),

s, l désignant sa largeur et son côté, longueur constante du segment découpé sur une génératrice quelconque par les lignes en question.

Dans l'arc de section droite AB, inscrivons une ligne brisée variable ayant sa longueur s pour limite (^58), et, par ses sommets . . ., m, n, . . ., menons des génératrices sur lesquelles les lignes A,B,, AjBj découperont des segments tous égaux à l. A cause de leur égalité et de leur parallélisme, deux de ces segments consécutifs m^m^, /j,/72 sont les bases d'un parallélogramme /77,n72/i.2n,m, ajant pour hauteur la corde mn de l'arc correspondant de la section droite ; et la somme des aires de tous les parallélogrammes de ce genre a pour limite celle de la plaque, parce qu'elles peuvent visiblement être décomposées en triangles infiniment petits dont l'ensemble est inscrit dans la plaque conformément aux prescriptions du n» 470. La somme

DKVELOPPEMKNT D'IN CYLINDUE. 375

'Z(l.mn) de CCS aires (314) étant é<i,alc à l^lmn), sa limite est bien /.lim l(/ï!n) ;= .s/.

Ce théorème s'applique immédiatement au cas où les arcs A,Bi, \.B.2 sont tracés par deux plans parallèles.

684. Soient M (fig. 182) un point quelconque d'un cjiindre, m le pied, sur une section droite fixe, de la génératrice passant par ce point, et A un point fixe marcpié arbitrairement sur la section droite. La position du point M sera exactement déterminée dès que seront données : la longueur de l'arc Am avec mention de l'identité ou de l'opposition de sa direction curviligne (455, III I à une direction ('lue sur la section droite, la longueur du segment //kM avec indication semblable de sa direction, c'est-à-dire de sa situation dans un demi-espace élu, de plancher A. . .mii. . .BX, ou dans son opposé.

Soient, d'autre part, M' (fig. 183) un point quelconque d'un plan fixe 'P, puis m' le pied de la perpendiculaire abaissée de M' sur une droite fixe de ce plan, et A' un point fixe pris arbitrairement sur cette droite. La position de M' sera pareillement déterminée par les longueurs des segments X'nï, m'M' et leurs directions, c'est-à-dire l'indication pour chacune, de son identité ou de son opposition à une direction élue, soit sur la droite fixe, soit sur une perpendiculaire.

Cela posé, si l'on prend toujours A' m' = Am, m'^V =i ni'SÏ, en établissant entre ies directions des premiers membres et celles élues sur le plan, les relations existant entre celles des seconds et celles élues sur le cijlindre. M' sera sur le plan une représentation spéciale de M sur le cylindre, et le même procédé fournira une représentation de ce genre pour toute figure tracée sur la surface cylindrique.

On démontre ailleurs, que sur le cylindre, des lignes tangentes ou sécantes, des arcs, des aires, . . . sont représentés sur le plan par des lignes tangentes aussi ou se coupant sur les mêmes angles, par des arcs, des aires équivalents en longueur et en mesure [le lecteur peut reconnaître l'exactitude de ce qui concerne la plaque cylindrique A,AoBoB, A, et sa représentation A'iA'jB'-^B', A'j de nature cylindrique aussi (477), mesurable, par conséquent (683)]. De là vient le nom de développement, porté par cette représentation plane des points d'un cylindre ; l'intuition dit effectivement, qu'elle est identique à celle que l'on obtiendrait en étalant physiquement sur un plan rigide, la surface cylindrique supposée inextensible, mais parfaitement flexible, après l'avoir ouverte au besoin par une fente suivant une génératrice. Cette propriété des surfaces cylindriques d'être applicables ainsi sur un plan, développables comme on le dit encore, celle inverse surtout qui appartient évidemment à un plan, de pouvoir prendre toute forme cylindrique sans déchirure ni duplicature,

est utilisée continuellement par les verriers, par les chaudronniers, ferblantiers, cartonniers, . . . et dans bien d'autres circonstances encore, par exemple, dans l'impression par presses rotatives.

685. On pourrait nommer angle ou gouttière conique, une région continue et indéfinie -AiStB (fig. 184), découpée sur une nappe conique par deux demi-génératrices S-l., S'B qui sont ses côtés. Ici, le rôle des plans perpendiculaires aux arêtes d'un C3dindre et celui des sections droites, sont joués par des sphères ayant le sommet S pour centre, et par les courbes sphériques AB, A,B,, ..., toutes homothétiques évidemment par rapport au sommet (663), (487, III), qu'elles tracent sur la surface conique, et que nous nommerons ses colliers. En tout point m d'un collier, le plan tangent à la sphère correspondante étant perpendiculaire sur son rayon Sm (641), la tangente au collier qui est située dans ce plan est perpendiculaire aussi à la même droite. En d'autres termes, chaque collier coupe à angle droit toutes les génératrices de la surface (456), en est une trajectoire orthogonale comme on le dit encore dans tous les cas analogues [sections droites d'un cylindre relativement aux génératrices (477, I), etc.].

L'aire d'une plaque AiA.iBoBiA,, découpée sur une gouttière conique par deux colliers, est donnée par la formule

(1) AABoB^A, = ^^i-^Z (C/-. 313),

où Von a représenté par s,, s., les longueurs des arcs A,B,, A.2B.2 interceptés par les côtés de la gouttière sur les colliers, et par l celle uniforme des segments A, A.,, . . ., BjE., découpés par ceux-ci sur les génératrices (longueur dite parfois le côté ou apothème de la plaque).

Les génératrices deux à deux infiniment voisines . . ., Sm, Sn, ... qui aboutissent aux sommets d'une ligne brisée variable . . .mn. . . inscrite dans quelque collier de la gouttière de manière à avoir sa longueur pour limite (458), traceront visiblement sur les deux colliers de la plaque les sommets de quadrilatères . . ., 7ni72,m.i/j.,, ... qui sont tous des trapèzes, parce que des droites telles que /?J,n,, mgn.T sont toujours parallèles, et dont la somme des aires a pour limite Faire de la plaque (Cf 683). Comme, en outre, deux triangles tels que m^Sn^, m^Sn.^ sont toujours isoscèles et homothétiques par rapport à leur sommet commun S, une même droite SdjEi.^ coupera leurs bases mjn,, niM^ perpendiculairement et en leurs milieux cj,, ^.j. Il en résulte que la somme de ces aires de trapèzes a pour mesure

AIRES CONIQCES. 377

Les cordes m^n^, m.,/j^ étant infiniment petites, le raisonnement du n" 542, II conduira à lim Sri^z=l^, lim Ssi^ = Z^, puis à lim 5j,5i.i = lim (Sci, — Ssj.,) := lim SriJ, — lim Sd^ = 1^ — /j = /, en représentant par /, et /., les longueurs communes des segments SA,, . . ., SB, et SA,, . . ., SB.,. On a. en outre, lim ï:(/j?,/j,i =: .s,, lim I(m,n,) = s^, parce que les lignes brisées à côtés infiniment petits ...m,n,..., . . .mji.^... sont inscrites convenablement dans les arcs A,B,, AoB.^. En vertu du lenime I du numéro cité, la somme (2) dans les termes de laquelle les derniers facteurs rrf,^j., tendent tous vers /, a pour limite le produit de / par la limite (Sj + S.2) : 2 de la somme des premiers facteurs, c'est-à-dire le second membre de la formule (1).

Soient a, .- les milieux des segments A, A.,, 8,0.3 ^^ 7 = ot/ï la longueur du collier moi/en de la phuiue passant par ces points. En ayant égard à l'honiolbétie des colliers par rapport au sommet du cône et aux propriétés des rapports égaux (303. V), on obtient

— = — î- = -^ = — ' (473, Vil),

So( SA, SA, SA, -l-SA., ^ ^

d'où 2i7 = 5, + s.,, puisque 2 Sa = SA, -i- SA.,. Pour le second membre de la formule (1), il vient donc cette autre forme cl, produit dn collier moyen de la plaque par son côté.

686. Si l'on fait tendre vers zéro SA, le plus petit des rayons des colliers de la plaque, la longueur s, de ce collier, qui varie proportionnellement à ce segment (Ibid.), tend aussi vers zéro, / vers /, =^SA,, le second membre de la formule (1) vers .ç,/, : 2. La mesure de l'aire considérée tend donc vers cette dernière limite, mesure de la plaque conique A, SB, limitée par deux demi-génératrices et un seul collier i*'.

687. Comme un cylindre (684), un cône peut être développé sur un plan, cl son développement, qui jouit des mêmes propriétés, dont la possibilité a aussi une foule d'applications pratiques, se construit d'une manière presque semblable.

A une demi-génératrice fixe S;l< et à un arc de collier AX, fixe aussi, indéfini et pourvu d'un sens élu déterminé (455, 111), ayant pour origine un point A de la génératrice, on fait correspondre sur le plan une demi-droite S'.l>' {fig. 185), et un arc de

(1) Ce détour peut sembler étrange ; il est cependant nécessaire à la correction du raisonnement, parce que la plaque contient ici un point singulier, le sommet du cône (490), et que l'exactitude des théories générales prend un caractère aljsolumcnt aléatoire, dés que de pareils points interviennent. Nous ne répéterons pas cette observation dans les cas analogues.

cercle, indéfini aussi, avec un sens élu, ayant pour centre S' et pour origine un point A' de S'~X', tel que S'A' = SA.

Par chaque point M du cône, on conduira la demi-génératrice coupant en m le collier fixe ; sur l'arc circulaire, on déterminera le correspondant m' de m par la double condition que \'m' soit égal à Ain et que, simultanément, les sens de ces deux arcs soient les sens élus ou leurs opposés. On trouvera enfin la représentation M' du point M en prenant m'M' = mM, et cela dans la direction m'S' ou son opposée, selon que celle de mM est identique ou opposée à celle de mS.

688. Quand il s'agit d'un cylindre, d'un cône de révolution (626, 11, III), les colliers de tous deux se réduisent évidemment à des parallèles (Ibid.), (681), et comme nous savons mesurer les arcs de cercle, l'achèvement des calculs nous est possible pour les plaques considérées ci-dessus.

Sur toute surface de révolution (623 ctsiiiiK), deux demi-plans méridiens quelconques interceptent sur deux parallèles quelconques des arcs A,B,, \Ji.,(fig. 18G) dont les angles aux centres A,o,B,, A^o-^B-^ sont égaux à leur dièdre, et, sur les méridiennes tracées par ces demi-plans, les plans des parallèles interceptent deux arcs A, A,, B,B.2 égaux et coupant orthogonalement les arcs des parallèles {Ibid., IV, V). Ces quatre arcs constituent le bord A, .\.,B.,B, A, d'une plaque de nature fort remarquable, que nous nommerons un bardeau, ayant pour hauteur la distance o^o.2 des plans des parallèles, pour dièdre à l'axe celui des demi-plans méridiens. Un raisonnement tout seiublable à celui du n'^ 536 montrera que quand deux bardeaux sont compris entre les plans de deux mêmes parallèles, le rapport de leurs aires est égal à celui de leurs angles à l'axe.

Une zone est un bardeau dont l'angle à l'axe est replet (4 dr.), se présentant encore, quand on fait abstraction des deux arcs de méridiennes superposés sur son bord, comme une plaque limitée par deux contours, savoir les circonférences entières des deux parallèles considérés. Il suffit de mesurer les zones, puisque, d'après la remarque faite tout à l'heure, le rapport du dièdre à l'axe d'un bardeau au dièdre replet, fournit précisément celui de son aire à celle de la zone limitée par les mêmes parallèles.

689. Si M,N,M.,X2 (fig. 187) est une zone cylindrique de rayon 0|M,=o.,M.2 = r ("62"6. Il) et de hauteur M,M. = N,N, = / (688i, son aire a pour mesure 27zrl.

Car en dédoublant en deux segments confondus AjAj, BjB^, celui que les parallèles M,X,, ]\LNo découpent sur une génératrice quelconque, et en adjoignant ces segments aux circonférences des parallèles, on forme le contour AjAjMgNoBaBiNiMiA,

AIRE d'une zone CYLINDIUQUE OU CONIQUE. 37'.)

Une pareille zone se nomme habituellement la siirfdce latérale du tronc cylindrique à bases parallèles M,N,M.,X., (691, inf.).

690. Soient M,N,M2N., (fig. 188) une zone conique, et o,M, =/•,, 02M2 = /'2, wfx=:p les raijons des parallèles qui la limitent et de son parallèle moyen, puis M,M,=:/ son côté; son aire a pour mesure

TT ( r, + To) / = 2 TT p / .

Car en la fendant par un segment de génératrice, dédoublé en AjAo, B,B^, on y voit une des plaques coni(|ues que nous avons mesurées au no 685. Le côté de cette plaque est /, les longueurs de ses colliers extrêmes et moyen sont 27rr,, 2Tr/^, 2t:p, d'où, pour la mesure de son aire, l'expression (27rr, r 27t/\,)/ : 2 ou 2Tzpl, identiques aux précédentes.

Si le plan du parallèle 'Sl.^K^ passait par le sonnnel, la plaque serait limitée par le sommet du cône et un seul collier. Comme alors r^ = 0, on aurait simplement tt/-,/, pour mesure de son aire.

Ces deux zones portent habituellement les noms de surfaces latérales du tronc conique M,N,MoX., â deux hases parallèles, ou SM,N, à une seule base dit encore, mais improprement, un cône (692, inf.).

Volume criin tronc cylindrique ou conique.

691. En substituant des bandes cylindriques (683) à des bandes planes, puis en procédant comme aux n°' 320 et suiv., on obtient la déJinition d'un paravent cylindrique, d'une moulure cylindrique. On arrive à celle d'une moulure cylindrique déchevêtrée, de son intérieur ou extérieur, de son amplitude, par des considérations toutes semblables aux moyens qui nous ont conduit aux notions analogues pour une plaque plane limitée par un contour composé d'arcs courbes (460).

Un tronc cylindrique à bases parallèles A|B,C,A.2B.,C.2 (fig. 189) est un volume dont tous les points sont intérieurs à la fois à une moulure cylindrique déchevètrée et à un mur non parallèle à ses génératrices; sa périphérie se compose ainsi de ses bases AiBjC,, A-^BjC.,, plaques planes égales résultant de la section de la moulure par les faces du mur, et des plaques cylindriques BiB.XiCi, CiCjAjAo, AiA.^BiB., découpées par les mêmes faces dans les bandes cylindriques dont la moulure est formée pla([ucs formant par leur ensemble la surface latérale du tronc. Sa hauteur esl la distance de ses bases. Ses arêtes latérales

sont les segments égaux découpés par les bases sur les génératrices des bandes cylindriques. Sa section droite A'B'C s'obtient en coupant la moulure par un plan perpendiculaire à ses génératrices.

Le volume de ce tronc a ponr mesure, soit le prodnit de l'aire S' de sa section droite par la longueur l de ses arêtes latérales, soit celui de l'aire commune S de ses bases par sa hauteur h.

Un polygone à côtés infiniment petits ..., m'n', .... inscrit dans la section droite et dont l'aire s' a pour limite celle S' de cette section {Ibid.), est la section droite d'une moulure polj^édrique découpant sur les plans des bases, des polygones égaux . . .m^n^. . ., . . .m^n.,. . ., inscrits dans celles-ci et dont les aires, de valeur commune s, ont pour limite S valeur commune des aires des deux bases.

La moulure polyédrique et les deux polj^gones composent la périphérie d'un prisme variable de hauteur h, d'arête latérale /, dont le volume ayant pour mesure, soit s'I, soit sh (390), a visiblement pour limite celui du tronc considéré AiBjCiAoB.^C.t (472). Ce dernier volume a donc bien pour mesure

lim s'I = lim sh = S7 = S/i .

Il est presque évident que l'expression S'I fournit tout aussi bien la mesure du volume limité par une monlare cylindrique et deux surfaces quelconques, superposables par quelque translation parallèle aux génératrices (Cf. 683).

692. Les explications fournies tout à l'heure sur les moulures cylindriques (691), feront concevoir bien facilement au lecteur comment se forment un éventail, un coin coniques, par l'assemblage d'angles coniques (685) rayonnant d'un même sommet, ce que c'est que l'intérieur ou l'extérieur d'un coin conique déchevêtré, son amplitude, etc. (V. 698, I, inf.).

Le volume A,B,CjA.2B.2C2 (Jig. 190) que limitent un coin conique de sommet S et les plaques A,BjC,, AjBXo découpées par lui sur les faces d'un «mur ne contenant pas ce sommet, est un tronc conique à bases parallèles.

Ces dernières AiB,Ci, A-^B.Xo sont les sections homothétiques par rapport au sommet S, faites dans le coin par les faces du mur (404j, (487, III). La hauteur du tronc est la distance P^P^ de ces faces découpant sur le coin la surface latérale du volume.

En représentant par S,, S., les aires des deux bases du tronc et par h sa hauteur, son volume a pour mesure

(Si + v/s7s, + s.,)^-

Comme au n= 691 à fort peu près, des demi-génératrices convenables ..., Sn7^m^, S/!,/».,, ... traceront sur les bases du

VOLUMI-: d'un TKON'C CYLINDIIIQUK OU CONIQUE. 381

tronc, des polygones variables . . ./h,/<j. . ., . . .in.ji.y. . . inscrits dans les bases, dont les aires 5,, s^ auront pour limites S,, S-j aires de celles-ci. Et ces polygones, avec les faces de l'angle solide aj'anl les génératrices considérées pour arêtes, limiteront un tronc de pyramide variable de bauteur Ii, dont le volume

(Sj -|- v .s,S2 + .s.,)/i : 3 (411) aura pour limite celui que l'on cherche. La mesure de volume du tronc conique est donc

lim (.s-, + \/^ + s,)- = (s, 4- i/SJS: + S,) - •

La base S., étant nulle quand son plan passe par le sommet du cône, le volume du tronc SA,B,C,, dit improprement un cône, a pour mesure SJi : 3, tiers du produit de sa base par sa hauteur.

693. D'après tout ceci, le tronc cjdindrique ayant pour surface latérale la zone considérée au no 689 (fig. 187) a évidemment pour mesure Trr-./z produit de l'aire du cercle lui servant à la fois de base et de section droite (543) par sa hauteur (ou côté) h.

Quant aux troncs coniques ayant pour surfaces latérales les zones mesurées au n° 690, leurs volumes ont pour expressions évidentes

h désignant la hauteur de l'un, puis de l'autre. Les aires de leurs bases ont effectivement pour mesures Tr/'j-, Tr/y, comme cercles de rayons /■,, r.^ .

Aires sphériqiies limitées par des arcs de cercles.

694. Nous n'utiliserons le lemme suivant, qu'au no 703 {inf.); nous le plaçons ici cependant, parce que, sauf quelques longueurs, il fournirait aux propositions de ce paragraphe un appui bien plus naturel que l'artifice classique (696, I, inf.).

Quand un triangle variable BAC inscrit dans une sphère a un côté infiniment petit a avec un angle opposé A dont lésinas (à luimême ou à son supplément) est minimable (438), ses autres côtés et les angles aigus formés par son plan avec les plans tangents à la sphère en ses sommets sont tous infiniment petits. En outre, la distance d du même plan BAC au centre O de la sphère a pour limite son rayon r.

Tout autre côté b du triangle et même le rayon l de son cercle circonscrit sont infiniment petits, parce que les relations (2) du no 570 donnent

aisin B! a b= , 1 = .

{sinAj 2JsinAj

fractions ayant des numérateurs infiniment petits avec un dénominateur minimable par hypothèse (440, I).

En appelant ensuite a le centre du cercle circonscrit, le triangle O-dA, rectangle en ss, donne sin nO\ = / : r, moyennant quoi, ce sinus et son angle gjOA avec lui (443 bis, I) sont infiniment petits comme /. Or, cet angle est égal à celui du plan BAC avec le plan tangent en A, parce que tous deux sont aigus et que les côtés Os5, OA du premier sont respectivement perpendiculaires aux faces du second (634), (641), (198i.

La relation Ôa' =z r'^ — i- (635, IV) donne enfin lim Od = /•, à cause de lim / = 0.

A ce propos, la remarque suivante est assez intéressante pour ne pas être omise. Quand, en outre, les sommets du triangle BAC sont infiniment voisins d'un même point fixe M, on prouve facilement que son plan a ponr posilion-Umitc le plan tangent en M à la sphère. Cette propriété du plan tangent, tout à fait analogue à celle de la tangente (450), subsiste pour toutes les surfaces, sous la même condition imposée au triangle BAC ; nous y avons fait allusion au n'' 461.

695. Des triangles infiniment petits du genre de BAC (694) peuvent donc être employés à la formation des plaques brisées variables, à considérer dans l'évaluation de l'aire d'une plaque sphérique (470), d'un volume dont la périphérie contient de semblables plaques (472).

On reconnaîtra sans jK'ine que, pour en obtenir de tels, il suffira, en particulier, de considérer la sphère comme de révolution (632, V) autour de quelque axe PP' ifig. 191) dont les traces P, P' sont extérieures à la plaque proposée, puis, par des méridiennes . . ., PmnP', PpqP', . . ., par des parallèles . . ., inp, nq, ..., tous infiniment voisins deux à deux, de tracer sur la plaque des bardeaux contigus ..., mpnq, ... (688), n'ayant leurs sommets qu'à son intérieur et sur son bord, puis enfin, de prendre les triangles ..., mnq, mpq, ... Cartons les côtés de ces triangles sont infiniment petits visiblement, et on peut prouver que leurs angles en ..., n, p, ... ont l'angle droit pour limite commune, en s'appuyant sur ce que les méridiennes et parallèles d'une surface de révolution se coupent toujours orthogonalement (625, IV). (Au besoin, on subdiviserait la

AiRi-: d'uni-: calotti-: sphkhiqliî. 383

phuiuc, si, à c;uisc de sa t'orine et de son étendue, aucune paire de points 1', I'' n'existait dans son intérieur.)

696. C.onnnc au n" 540 pour une circonférence, on reconnaîtra sans peine, ([uun i)lan sécant détermine sur la surface d'une sptière, (ieux plaques aj'ant pour bord commun la section plane ainsi obtenue ABC (//</. 192), et se trouvant respectivement dans le demi-espace ABCO de plancher ABC qui contient le centre O, et dans son opposé. Ces plaques sont des calottes sphériciues ayant pour /JÔ/t's ceux P, P' de leur bord circulaire commun, Xiouv hauteurs Ion flèches {Cf. 546, 3")] les distances o)P, 'oP' du plan du même bord à leurs pôles.

Ces plaques ne sont ainsi que des zones spéciales de la sphère considérée comme surface de révolution autour de la droite PP' de leurs pôles (633).

Parmi les calottes, on remarquera les hémisphères déterminés par des plans diamétraux (633, V); leurs bords sont des grands cercles, et tous, évidemment, sont égaux entre eux.

En appelant r, li le rayon de la sphère et la hauteur o)P de la calotte PAB, la mesure de l'aire de celte plaque est fournie par la formule

calPAB = 2-/7i,

produit de la circonférence d'un grand cercle par la hauteur de la calotte (539).

I. Le raisonnement classique est base sur le fait suivant qui est assez intuitif; on en omet toutefois la démonstration qui serait effectivement plus pénible que la méthode directe dont les éléments ont été indiqués au n' 695.

Laire de la calotte en question est la limite de la somnw de celles des zones coniques (ou cylindriques) (639 et suiiy.) ayant pour axe comnmn celui de la calotte considérée et pour côtés ceux ..., mn, ... d'une ligne brisée variable ...mn... inscrite dans l'arc de méridienne PA, de manière à auoir sa longueur pour limite.

Nous partirons aussi de ce lemme, pour ne pas nous attarder outre mesure sur un détail de ce genre.

IL Si l'on représente par •/., v, a les centres des parallèles extrêmes et moyen de la zone conique {ou cylindrique) de côté mn, qui sont les projections sur l'axe, des extrémités m, n et du milieu p de ce côté, on a, pour l'aire [mn] de cette zone,

(1) [mn] = 2-.0p.iJ.^^.

Au n" 690. nous avons trouvé effect'vement [mn] =:2-n:.sip.mn, ce qui peut être écrit

mn\ =:2~ . . mn . cos 01;; ,

cos tj/jO

I étant l'intersection de droites PP', ma ; car les angles de ces cosinus sont égaux comme compléments du même angle lOP dans les triangles Oap, Opl rectangles en pj, p. Or le premier de ces triangles donne ap : cos apO = Op (243), et on a encore m/j.cos OIp==.u.v, parce que ;j.v est la projection orthogonale de mn sur Taxe PP' faisant l'angle aigu 01/j avec ce segment (244). [La zone [mn] est cylindrique quand mn est parallèle à PP', mais l'égalité (1) est évidente à cause de (ip=^ Op, mn := av.]

III. En posant indéfiniment [m = u, Op = u, la somme des aires des zones coniques mentionnées dans l'alinéa I, est donc

et, d'une part, on a évidemment sans cesse », -j- ... + ii,^ = o>P = h, d'où lim(», -f- ...-[-««) =^^ d'autre part, on a lim [>i ^ lim p^ =:...= lim v„ = r comme au n" 542, II. On a donc bien

cal PAB = \im\2~{ii^v^ + . . . + ii„i>,,)] — 2-rA (Ibid., I).

697. Une zone sphérique quelconque A'B'A"B" (fîg. 193) est évidemment la différence de deux calottes de même axe et pôle, A'PB', A"PB", dont les hauteurs h' =Ki'P, h" ■=. pj'T ont pour différence la hauteur h de la zone, distance des plans de ses parallèles extrêmes. Pour l'aire [h] de cette zone, on a donc (696)

[h]=2arh" — 2izrh' = 2izr{h" — h') — 2T.rh,

produit encore de la circonférence d'un grand cercle par la hauteur de la zone.

La totalité de la surface de la sphère pouvant être considérée comme une calotte (ou zone) de hauteur li^2r, on a pour la mesure de son aire