La suite exige quelques préliminaires

I. Pour un coin conique déchevêtré (692), le sens des mots intérieur, extérieur (de significations relatives), amplitude, ... se définit comme pour une aire plane (460), à cela près que les points sont à remplacer par des demi-droites issues du sommet, le contour courbe fixe par la surface du coin, le contour polygonal variable par un angle polyèdre de même sommet à faces infiniment petites, inscrit aussi dans le coin, ... (336 et sniv.).

II. Uintérieur (I) d'un coin conique au centre d'une sphère, a pour représentation sphérique (669) celui de la plaque ayant pour contour la représentation de la surface du coin (468, III).

1" Les faces d'un trièdre OABC (fig. 194) étant essentiellement saillantes, on peut évidemment, dans le plan AOB, mener une

Aiuiî d'un fuseau sphérique. 385

droite a'0,3 faisant, par ses deux moitiés Ox', 0,3, des angles aigus a'OA, ;30B avec les arêtes OA, OB de cette face, et dans le plan AOC, une autre droite a'Oy jouissant de la même propriété relativement à cette autre face. Il en résulte évidemment que ce trièdre est tout entier dans un demi-espace ayant pour plancher le plan 'P'P des droites a'0,3, x"Ov, que, par suite, sa représentation sur une sphère de centre O est un triangle sphérique ABC, intérieur ù l'hémisphère contenu dans le même demi-espace.

Soient maintenant, m la représentation sphérique d'une demidroite Oni intérieure au trièdre, et Ob, Oc les traces sur sa surface, du plan passant par Om et par OP demi-perpendiculaire au plan ^S^£ dans le demi-espace considéré. La demi-droite Om étant intérieure au trièdre, à son angle BOAC en particulier, l'est à l'angle bOc. Il en résulte que m est intérieur à l'arc bc intercepté par cet angle au centre sur le grand cercle P/n, et que sa projection m' sur le plan "^TP est intérieure au segment b'c' , projection de l'arc bc sur le même plan i536, I), intérieure en conséquence, à l'aire plane A'B'C, projection de celle du triangle sphérique ABC. Le point m est donc intérieur aussi à ce triangle (468, III).

2" Du cas d'un simple trièdre, le fait en question s'étend immédiatement à tout angle solide déchevètré, puisqu'il est toujours décomposable en triédres contigus extérieurement (337, III), puisa un coin conique quelconque considéré comme position-limite d'un angle solide inscrit à faces infiniment petites.

On peut dire que cette plaque est inlerceplée sur la sphère par le coin conique {Cf. 535).

III. Le rapport des aires des plaques interceptées par deux coins coniques au centre d'une sphère, est égal à celui des amplitudes de ces coins (Cf. 536).

Ayant lieu pour les aires des triangles sphériques représentés au centre par deux triédres égaux, puisque la superposition des triédres opère celle des triangles correspondants (676, II) et des aires de ceux-ci (II), le fait en question s'étend, par la méthode des limites, au cas où les coins sont des angles solides quelconques [décomposables avec une approximation indéfinie, en triédres égaux dont le rapport des nombres a pour limite celui des amplitudes (Cf. 298, etsuiv.)], puis à celui où les coins ont des faces courbes (Cf. 460).

699. Un fuseau sphérique est la plaque AHA'KA (fig. 179) interceptée par un dièdre au centre HAA'K ; son contour se compose de deux demi-grands cercles AHA', AKA' et son angle est celui TAU sous lequel ceux-ci se coupent, rectiligne du dièdre considéré A (672).

En supposant A exprimé en degrés, et nonunant toujours r le

rayon de la sphère, la mesure 'J de l'aire du fuseau est fournie par la formule

tf=— -47r/-2.

Car le fuseau et la sphère entière regardée comme de révolution autour de l'arête AA' du dièdre considéré, ne sont que deux bardeaux (683) compris entre les mêmes plans parallèles (tangents en A, A')- Le rapport de leurs aires est donc celui de leurs dièdres à l'axe, A: 360, et l'aire de la sphère a pour mesure 47T/-2 (697).

700. L'aire ^ d'un triangle sphérique dont l'excès sphérique (673, I) exprimé en degrés est C, a pour expression

(2) 'é = — T.rK

Les aires de deux triangles sphériques ABC, A'B'C étant entre elles comme les amplitudes des trièdres les représentant au centre (698, III), et le rapport de celles-ci étant

puisque les angles des trièdres sont ceux mômes des triangles correspondants, on a entre leurs aires 'J, y" et leurs excès sphériques C, C la proportion

Si maintenant, on prend pour A'B'C le triangle trirectangle, dont l'excès sphérique est un droit, dont l'aire est le 8»^ de celle de la sphère parce que la somme de deux triangles trirectangles est évidemment un fuseau de 1 droit, quart de la sphère (699), cette proportion devient

47Trg:-^ = C:90,

équivalent de la formule (2).

701. Pour obtenir la mesure 'J de l'aire d'un polygone sphérique de n angles A, . . ., K exprimés en degrés, il suffit, dans la formule (2), de remplacer C par A -f- ... + K — (n — 2) 180. Car en le supposant convexe, pour fixer les idées, il se décompose en /i — 2 triangles sphériques dont cette expression est précisément la somme des excès.