AIRE SPHÉRIQUE LIMITÉE PAR DES ARCS DE CERCLES

Plus généralenicnt, l(i cumbinaisoii des résullals obtenus chiiis ce paragrapJic permet d'évaluer l'aire de toute plaque sphérique limitée par des arcs de cercles quelconques.

En considérant d'abord un segment de calotte, plaque A/7?!î/jA (fig. 195) découpée dans une calotte PA/?jB de pôle P par un arc de grand cercle AnB, on obtiendra son aire en combinant, par soustraction ici, par addition dans d'autres cas, l'aire du triangle sphérique isoscèle APBmA (700) avec celle du secteur de calotte PA/îjBP découpé dans la même plaque par les arcs PA, PB rayons sphériqucs du petit cercle AmB. Ce secteur n'est autre, en efTet, qu'un bardeau découpé dans la calotte par deux méridiennes (688), (696). A partir de là, on procédera exactement comme nous l'avons fait sur le plan au n" 545.

Par l'inscription d'une ligne brisée sphérique à côtés infiniment petits (671) dans un arc de courbe sphérique quelconque, dans le bord d'une plaque sphérique, la mesure de ces figures prendrait avec les arcs de grand cercle, les triangles sphériques, les mêmes attaches que la mesure des lignes courbes, des aires ci contours curvilignes, dans un nùnw plan, avec les segments et triangles reclilignes. La première cause de ceci et des autres particularités caractéristiques de la Géométrie sphérique réside dans l'indivitiualité constante d'un grand cercle d'une sphère, dans la possibilité pour lui et pour elle de glisser indéfiniment sur eux-mêmes, et l'un sur l'autre, comme pour la droite et le plan.

702. L'amplitude d'un coin conique (déchevêtré) a pour mesure l'aire de la plaque interceptée par lui sur une sphère ayant son sommet pour centre. Cette proposition, à rapprocher de celle du n" 547, résulte d'une convention toute semblable, combinée avec la proportionnalité formulée au n" 698, III.

Volumes du secteur et du segment sphériques.

703. Un secteur sphérique, OABCP (fig. 196) par exemple, est limité par une plaque sphérique quelconque ABCP, dite sa base, et par le coin conique au centre OABC, qui intercepte cette plaque (698, II, 2°).

Le volume d'un secteur sphérique a pour mesure le produit de l'aire tB de sa base, par le tiers du rayon r de la sphère.

Nous inscrirons proprement dans la base sphérique du secteur, une plaque brisée ayant pour faces des triangles infiniment petits du genre de ceux mentionnés au n» 695, dont nous appellerons «,, U.2, . . ., u,i les aires, et y,, y.2» • • ■. ^>i. les distances des plans au centre de la sphère ; puis nous considérerons les tétraèdres ayant le centre de la sphère pour sommcl commun et

ces divers triangles pour faces opposées. Cela posé, la somme (géométrique) de ces tétraèdres dont la mesure est

-u,Pi -t- -u,v, 4- . • • + 3"«y« = ^iu,v, -L . . . + »„u„) (388),

est visiblement inscrite dans le secteur, de manière à avoir son volume pour limite (472). Or on a

lim (a, -f a, + • • • + "«) = 33 (470),

lim P, = lim u.^ = . . . = lim i)„ =z r (694),

On a donc lim (»,y, -f . . . -f ii„v„) = 93r (542, I), ce qui donne bien Sir : 3 pour volume du secteur.