Le volume d'une sphère de rayon r a pour mesure

4rr/--- = TzrK

Car on peut le considérer comme celui d'un secteur ayant pour base la surface entière de la sphère dont l'aire est 4/t/-- (703), 697).

705. Un segment sphérique est limité par une zone sphérique (688) et les aires des parallèles constituant le bord de la zone, dites les bases du segment. La périphérie d'un segment à une base ABC^P ifig. 196i se compose seulement d'une calotte ABCP et de l'aire circulaire de sou bord ABC'ri. Dans les deux cas, la hauteur du segment est celle de la zone (ou de la calotte).

Le volume d'un segment sphérique a pour mesure le produit de la demi-somme de ses bases par sa hauteur, augmenté de la mesure d'une sphère aijant cette hauteur pour diamètre.

I. Selon que la hauteur nP ifig. 196) d'un segment à une seule base ABCsiP est supérieure comme ici, ou inférieure au rayon r de la sphère, son volume est évidemment la somme ou la différence de ceux du secteur OABCP et du tronc conique de révolution OABC'ri, dont la base est celle ABC^d du segment, dont la hauteur est Otd distance du plan de cette base au centre. Le secteur ayant pour base la calotte ABCP de hauteur r ± Oa, d'aire 27rr {r ± Oa) (696), son volume a pour mesure

27rr(r :±r O'd)- = -(/-zt Orf).2H (703);

comme le carré de nX, rayon du cercle ABCgj, est égal à r^ — Osi' (635, IV), l'aire de ce cercle est mesurée par izÇr^ — Oaj') (543), et le volume du tronc conique par

Tz{r-^ — 0ri) — =~{r^.0ri — 0rà) (693).

VOLUME d'un segment sphérique. 389

Le volume du segment provisoirement considéré a donc pour expression

(1) ^[(r±Ord).2r2±(r2.0d-Ô^'')].

II. Dans un segment quelconque, soient maintenant A'B', A"B" (fuj. 193) SCS bases la moins et la plus éloignées de l'un P de leurs pôles communs, puis d' = Od', d' =zOr.'," les distances de leurs plans au centre ; et, pour fixer les idées, supposons les directions O^', On" toutes deux opposées à OP. Comme ce volume est la différence A"B"P — A'B'P de ces segments à une seule base chacun, on obtiendra sa mesure en faisant successivement Qri := d" , Ori z= d' dans l'expression (1) écrite avec les signes supérieurs, puis la dillerence de ces deux valeurs, pour laquelle il vient immédiatement

(2) ^[(rf" - d').2i-^' + v\d" - rf') - {d'" - d'-%

En remplaçant d"-^ — rf'^' par (d'"^ -j- d"d' -f- d'-)(d" — d'), représentant par h la difîércnce d" — d' ^ a'a" hauteur du segment, et mettant cette quantité en facteur, l'expression (2) devient

Mais, à cause de (d" ~ d')- = d"- -^ d'^ — 2d"d', on a d"d' = ((/''- + d'' — h-) : 2, ce qui change (3) en

d"- + rf'- — h-n 3^2 d'" - rf'2

si, pour abréger, on représ'énte par p'^, p"'^ les carrés des rayons des deux bases /■- — d'-, r^ — d"-. Or izo'-, Trp"- et tt/j-' :6 sont bien les mesures des aires des bases et du volume d'une sphère de rayon h : 2 (704).

706. On apercevra bien facilement, que la combinaison des formules trouvées dans ce chapitre suffit pour obtenir /a mesure de tout toit (471) forme par des plaques de cylindres et cônes de

révolution, de sphères, dont les bords et lignes de raccord sont décomposables en segments rectilignes et arcs de cercles, celle de tout volume ayant pour périphérie un semblable toit. Mais les calculs de ce genre n'offrent ni intérêt, ni difficulté sérieuse, et il serait ici tout à fait oiseux d'en traiter des exemples. Parmi les volumes, nous nous contenterons de nommer : le voussoir sphérique taillé par deux sphères concentriques et un coin conique au centre, l'anneau sphérique limité par une zone sphérique et une zone conique (ou cylindrique) ayant les mêmes parallèles extrêmes.