MOUVEMENT DE ROTATION

fixité dans l'espace, de tous les points de l'une de ses droites oo' et un simple pivotement simultané, autour de c>, de l'un de ses plans passant par ce point, a été nommé un mouvement de rotation de cette figure autour de l'axe oo' ; on dit aussi que la figure tourne autour de cet axe. Un pareil pivotement nous est montré par les plaques tournantes qui abondent dans les grandes gares des chemins de fer. Un vagon amené sur une d'elles pour être viré, représente la figure solide p que nous avons attachée au plan pivotant, pour la mettre en rotation.

La possibilité de réaliser le mouvement de rotation sous la deuxième condition ci-dessus (84, V), le rend extrêmement facile à faire naître, car il suffit, pour l'obtenir, de mettre en mouvement un corps solide après avoir fixé deux de ses points pris arbitrairement, mais distincts. C'est ce qui est réalisé, par exemple, dans une meule de rémouleur, suspendue par les deux pointes de sa broche; et quand les flancs de la meule ont été convenablement aplanis, chacun d'eux paraît comme immobile, parce qu'il glisse simplement sur le plan de l'espace sur lequel il a été une fois appliqué. L'axe est ici la droite joignant les pointes de la broche, ou tout aussi bien les fonds des cavités fixes où ces pointes se maintiennent enfoncées.

Le mouvement naturel de la porte dune chambre, s'ouvrant ou se fermant, nous en fournit des exemples plus vulgaires encore : la droite des gonds constitue l'axe, et si la porte est épaisse, ayant été bien taillée et bien ajustée, sa coupe inférieure est un plan perceptible que l'on voit encore glisser sur le parquet de la chambre, plan aussi.

Ces diverses particularités donnent au mouvement de rotation, en Géométrie et en Mécanique, une importance comparable à celle du mouvement de translation (35 et suiv.). Cette importance est peut-être plus considérable encore dans les arts de construction mécanique, à cause des propriétés spéciales très simples des trajectoires des points d'une figure en rotation et de certaines surfaces connexes. Mais nous n'avons pas à nous occuper de ces côtés de la question avant le Chapitre XVI iinf.).

Une rotation est un déplacement (2) produit par un mouvement de rotation.

86. Pour caractériser les positions relatives d'un plan P et d'une droite D qui se coupent en O et forment un assemblage solide, tel que celui de 'P, de la droite 00' et du point t^, dans les nc's 83 et suiv., c'est-à-dire tel, nous le répétons, qu'en le dédoublant par la pensée en lui-même fixe et en un autre identique, mais mobile, la rotation de ce dernier autour de sa droite, qui laisse celle-ci fixe sur D point sur point, fasse simplement pivoter son plan sur P autour de 0, on dit que chacun d'eux est perpendiculaire à ou sur l'autre, et on nomme leur point com-

mun 0, le pied de l'un sur l'autre (pour abréger, nous dirons simplement que cette rotation s'exécute autour de D et que le plan P pivote sur lui-même autour de 0).

Ces dénominations viennent sans doute de la propriété mécanique d'un fil à plomb (suspension en équilibre, d'un corps pesant attaché par un fil) d'être perpendiculaire au plan de surface d'une eau tranquille.

On dit obliques l'un à l'autre, un plan et une droite qui se coupent sans être mutuellement perpendiculaires.

I. Par tout point O d'un plan quelconque P, on peut lui élever une perpendiculaire D, niais une seule.

L'affirmation de l'existence de la perpendiculaire D n'est qu'une autre forme de l'énoncé des propositions fondamentales liu n° 84. La dernière partie résulte de ce que, si, par le même point 0, on pouvait élever une deuxième perpendiculaire D', la rotation d'une figure mobile attachée au plan pivotant P laisserait en repos quelque point de D' étranger à l'axe D, ce dont nous avons reconnu l'impossibilité (loc. cit.).

II. Par tout point O d'une droite quelconque D, on peut élever à à celle-ci un plan perpendiculaire P, mais un seul.

En déplaçant l'assemblage solide formé parle plan 'P et sa perpendiculaire QO', de pied O, de manière à amener à la fois O sur O et ÛO' sur D (23), la position P prise par le plan y? est évidemment un plan perpendiculaire à la droite D en son point O.

Mais soit P' un plan perpendiculaire sur D en O, obtenu d'une manière quelconque. L'hypothèse que P' ne se confondrait pas avec P est inadmissible; car autrement (21, IX), ils se couperaient suivant une droite t qu'une rotation de toute la figure autour de D amènerait dans quelque autre position t, appartenant à la fois aussi à P et à P', puisqu'alors (84, V), chacun de ces plans pivote simplement sur lui-même, et, contrairement à ce que l'on a supposé, ces plans coïncideraient comme passant tous deux par les droites distinctes t, t, (21, IV).

III. En un seul mot : deux assemblages solides formés, l'un par une droite Dj et un plan P, nuituellement perpendiculaires et se coupcmt en Oj, l'autre par des objets similaires I).2, P-j, O.2 jouissant des mêmes propriétés relatives, sont tout entiers superposés quand on applique simplement l'un sur l'antre, soit les plans P^, P.^ -72 même temps que les points 0,, O.,, soit les droites Dj, Dj en même temps que ces deux points encore.

IV. Mais il y a plus : 5/ l'on amène à la fois 0, en 0^ et D, sur le plan Pj, le plan P, passera par la droite Dj, opération constituant un mode différent, mais imparfait, d'appliquer nos deux assemblages l'un sur l'autre.

Soient en effet Dj une demi-droite d'origine O, empruntée à la droite D,, et T, dans le plan Pj, la demi-droite d'origine O^ sur laquelle le déplacement considéré du premier assemblage

PERPEXDICULARITÉ EN GÉNÉRAL. 33

amène D^ ; soient encore Tj, Dj, deux demi-droites, l'une d'origine 0, dans le plan du premier assemblage, l'autre d'origine O^, empruntée à la droite du second. Les angles (159 et suiv., inf.) DjOiTi, D^O./rj sont égaux ; car si l'on applique le premier assemblage sur le second (III), Tj située dans P^ qui s'applique sur P2, vient dans ce dernier plan, et une rotation autour de l'axe Dj (ou Dj, puisque ces deux droites coïncident maintenant) suffit ensuite pour appliquer cette demi-droite sur Tj. Mais, à cause du second mode d'égalité des mêmes angles (162, inf.), il est encore possible de les faire coïncider en plaçant Dj sur T, et T^ sur Dj ; le plan P^, qui contient T, coïncidant maintenant avec D2, passe alors par D.,; et il y passera après toute autre application de D, sur T.,, puisqu'il ne peut manquer de s'appliquer sur le plan unique (II) qui est perpendiculaire sur Tj en O2.

Plans perpendiculaires à des droites.

87. Un plan P^ et une droite Dj, qui sont respectivement parallèles à un plan Pg et à une droite D2, mutuellement perpendiculaires, le sont aussi Fan à l'autre.

Eftectivement P^ et D, ne sont pas mutuellement parallèles, car autrement P, et D., le seraient aussi (49), (59), au lieu d'être perpendiculaires et de se couper; ils se coupent ainsi en un certain point Oj (71). Cela posé, soit O2 le pied de P^ sur Dj, et imprimons au premier assemblage une translation amenant Oj en 0, (38, I) ; Dj s'appliquera sur D,, et P, sur Pj en même temps (41), (55). Donc le premier assemblage est égal au second; sa droite, en d'autres termes, est perpendiculaire à son plan.

88. Si Dj se confond avec Dj, ou bien Pj avec Pj, on a ces deux corollaires :

Une droite perpendiculaire sur un plan l'est également à tous les autres qui sont parallèles à celui-ci.

Un plan perpendiculaire à une droite l'est aussi à toutes ses parallèles.

89. Réciproquement, deux droites sont parallèles quand elles sont perpendiculaires sur un même plan {ou tout caissi bien sur deux plans parallèles). Car une parallèle à la première menée par le pied de la seconde est perpendiculaire au plan (88); elle coïncide donc avec la seconde, puisque, par un même point d'un plan, on ne peut lui élever qu'une seule perpendiculaire (86, I).

90. Deux plans perpendiculaires sur une même droite sont parallèles. Même raisonnement.

91. D'un point quelconque extérieur à un plan, on peut abaisser sur celui-ci une droite perpendiculaire, et une seule. C'est la droite unique menée par le point, parallèlement à une perpendiculaire quelconque au plan donné (43), (88).

92. D'un point quelconque étranger à une droite, on peut abaisser sur celle-ci un plan perpendiculaire, et un seul. C'est le plan unique mené par le point, parallèlement à un plan quelconque perpendiculaire à la droite donnée (58), (88).

Droites perpendiculaires.

93. Quand une droite E (fig. 12) est située dans un plan P perpendiculaire à une droite D, réciproquement celle-ci est située dans un plan perpendiculaire à la première.

Par le pied O de D sur P, menons une droite E' parallèle à E et un plan Q perpendiculaire sur E'. Cette droite E' est située dans le plan P, parce qu'elle y a son point O et qu'elle est parallèle à une droite E du même plan (42) ; son plan perpendiculaire Q contient donc la perpendiculaire D au plan P (86, IV), et, en même temps, il est perpendiculaire sur E parce qu'il a été mené tel à E', droite parallèle à E (88).

94. Deux droites sont dites orthogonales, quand chacune d'elles est située dans un plan perpendiculaire à l'autre, offrant ainsi la. disposition des droites D, E du numéro précédent.

Deux droites orthogonales sont dites perpendiculaires l'une à Vautre quand elles se coupent, et leur point d'intersection se nomme le pied de l'une sur l'autre ; ex. : D et E' (fig. 12) ; le pied est le point O.

Par exemple : Une droite perpendiculaire sur un plan est orthogonale Cl toutes les droites de ce plan, mais perpendiculaire à celles seulement d'entre elles qui passent par son pied.

Deux droites sont dites obliques l'une sur l'autre, quand elles se coupent sans être perpendiculaires, quelquefois encore quand, sans se rencontrer, elles ne sont pas orthogonales.

95. En tout point d'une droite, on peut lui élever une infinité de droites perpendiculaires. Ce sont toutes les droites du plan perpendiculaire à la proposée au point donné (86, II), qui passent par ce point (94).

Mais, dans un même plan contenant la droite donnée, et au même point, on ne peut lui en élever qu'une seule. C'est l'intersection unique de ce plan et du plan perpendiculaire mentionné ci-dessus.