RELATIONS ENTRE LES PAIRES DE SEGMENTS DÉTERMINÉES

SLR LES CÔTÉS d'UN TRIANGLE

OU d'un quadrilatère gauche, par CERTAINES DROITES

OU PLANS SÉCANTS.

707. Sous ce titre, nous groupons des théorèmes aussi remarquables par leur fréquente utilité, que par leur généralité et leur beauté, car ils rendent presque intuitives bien des démonstrations qui seraient fort pénibles autrement.

Pour que trois points a, /3, v (fig. 197) situés sur les droites des côtés d'un triangle {déchevêtré) ABC ailleurs qu'aux sommets, soient en ligne droite, il est nécessaire et suffisant que le nombre de ceux placés sur les prolongements des calés soit 1 ou 3, et que l'on ait la relation

^ ^ aC M yB

I. Si une même droite contient ces trois points, elle ne peut passer par aucun sommet, et le nombre des côtés qu'elle rencontre en leurs prolongements est 1 ou 3, selon qu'elle laisse d'un même côté d'elle deux sommets, le troisième étant de l'autre côté, ou bien les trois sommets à la fois (25).

En appelant maintenant AjA, B,B, C,C les distances des sommets à la droite a,5Y. mesurées parallèlement à une même direction quelconque, on aura

-T: = TTTT (258),

yB " B,B