TRANSVERSALE DANS UN TRIANGLE

et la multiplication membre à membre de ces trois proportions conduit immédiatement à l'égalité (1).

II. Si la condition topographique est satisfaite ainsi que la relation (1), la droite /îy ne i)eul être parallèle à BC ; car si elle était telle, les points ,?, y seraient tous deux à la fois, soit intérieurs à AC, AB à la fois, soit extérieurs, et l'on aurait /3C : ,?A == yB : yA (146), c'est-à-dire

^ ^ /3A yB

Le point a serait donc extérieur à BC à cause de la condition topographique, et la division membre à membre de (1 ) par (2) donnerait aB:aC=l, ce qui est alors impossible (133). Cette droite /3y rencontre donc la droite BC en un point a' qui est Intérieur ou extérieur au côté BC, selon que les relations de ji, y avec AC, AB sont différentes ou identiques (I), c'est-à-dire en même temps que et en vertu de la condition topographique supposée. On a, en outre,

donnant

a^ oB a'C aC

par division membre à membre avec (1); a' se confond donc avec a (133).

703. Trois points a. ;3, y (fig. 198t clanl encore marqués dans les mêmes conditions sur les droites des côtes d'un triangle ABC, pour que les droites Ao(, B,î, Cy soient concourantes ou parallèles, il faut et il suffit que l'on ait la même relation (1), mais que 0 ou 2 soit le nombre de ces points placés sur les prolongements des côtés.

I. Si Aa, B/3, Cy concourent en un point oi, celui-ci ne peut être sur la droite d'un côté, et on aperçoit immédiatement que les trois points a, /?, y sont sur les côtés eux-mêmes quand lo est intérieur au triangle, qu'un seul est dans ce cas, quand (o est extérieur au triangle, à l'intérieur, soit d'un angle, soit de son opposé au sommet (159, III, IV).

Nommons maintenant a, b, c les côtés du triangle respectivement opposés à ses angles A, B, C, ensuite ((/) généralement, la trace sur le côté /, de la droite menée par (o parallèlement au côté j et en même temps le segment allant de co à ce point ((/).