RELATIONS ENTRE LES PAIRES DE SEGMENTS, ETC
Comme on a les trois proportions aB : aC = (ca) : (ba), ,/3C : M = (ab) : (cb),
yA : yB = {bc) : (ac) (260, I), il vient en les multipliant membre à membre,
oB ,îC yA (ca) (a/)) (bc) (ab) {bc) {ca) aC " M " ^ ~ {ba) {cb) {âc) ~ (ac) {ba) (cb) '
Mais on a (ab) : (ac) = AC : AB = /? : c, parce qu'il s'agit des distances des points w, A à la même droite BC, mesurées parallèlement à deux mêmes directions (256), et de même {bc) : (ba) = c : a, {ca): (cb)::^a : b. 11 vient donc bien
«B /sC yA b c a
aC /?A yS ~ c a b ~~ '
II. Quand Aa, B,?, Cy sont parallèles, les mêmes conclusions deviennent à peu près évidentes.
III. On établira les réciproques en raisonnant exactement comme ci-dessus (707, II).
709. Pris respectivement sur les quatre droites AB, BC, CD, DA des côtés d'un quadrilatère gauche, quatre points (cd), (da), (ab), (bc) ne peuvent offrir l'une des trois dispositions suivantes, sans présenter les deux autres en même temps : 1" situés dans un même plan ; 2° déterminant avec les côtés opposés quatre plans concourant en un même point ou bien parallèles à une même droite ; 3" déterminant par couples pris sur les paires de côtés opposés, deux droites (cd){ab) et {da){bc) qui se rencontrent ou sont parallèles.
Car si, par exemple, ces quatre points sont dans un même plan 'P, les deux droites précitées s'y trouvant forcément aussi sont concourantes ou parallèles, et les quatre plans AB{ab), BC (bc), CD {cd), DA(f/a) dont, évidemment, le premier et le troisième contiennent {cd)(ab), dont le second et le quatrième contiennent {da){bc), passent par leur intersection dans le premier cas, sont parallèles à toutes deux dans le second. Cela posé :
Pour que ces points joiussent de la triple propriété précitée, il faut et il suffit que le nombre de ceux placés sur des prolongements de côtés {sur des côtés, tout cuissi bien) soit 0, ou 2, ou 4, et que Von ait la relation
(ab) C (bc)T> (cd)A (da)B ^''^ (ab)D ' (bc) A ' (cd)B ' (da)C ~
Quand un même plan contient les quatre points, il rencontre évidemment : 1", 0 côté (lui-même), si tous les sommets sont d'un même côté de lui ; 2", 2 côtés consécutifs, s'il laisse de part
PKOJECTIVITli DU KAPPORT ANHAHMONIQL'E. 393
et d'autre de lui, un seul sommet d'une part, les trois autres d'autre part ; 3% 2 côtés opposés, si, de part et d'autre de lui, se trouvent une paire de sommets non opposés et l'autre paire ; 4^ les quatre côtés, s'il en est ainsi pour les deux paires de sommets opposés.
La relation (3) s'établit ensuite comme (1) au iv 707 exactement, en considérant A, A, B|B, C,C, D,l), distances des sommets au plan "P, mesurées dans quelque même direction, et la réciproque se (lénioiilre à peu près comme celle du lieu cité.
710. Si, aux rapports de segments figurant comme facteurs dans les trois relations considérées ci-dessus, on attribue les signes réglés par les conventions du n 135, 111, les conditions topographiques et numériques des trois théorèmes précédents se fusionneront dans ces énonces autrement concis.
Pour que les points a, p, y sur les côtés d'un triangle, soient en ligne droite ou bien donnent des droites Aa, H';i, Cy, soit concourantes, soit parallèles, il faut et il suffit que l'on ait
aH ;ïC -a
aC pA vB
La condition nécessaire et suffisante à l'existence des trois dispositions simultanées du n" 709, est que le premier membre de la relation (3) soit égal à {- 1.
Les conditions pour que : 1" dans le triangle AliC, la sécante l^y soit parallèle à BC (707); 2" les droites B'^, Cy se coupent siu' une parallèle menée par A à BC (708) ; 3' dans le quadrilatère ABCD, le plan (bc)(cd){da) soit parallèle à CD (709', se déduisent des deu.'c relations (4) et de (3) par la simple substitution de -\- 1 au.x rapports constituant les premiers facteurs de leurs premiers membres; un peu d'attention le montrera.
On remarquera une conncxité prescjue évidente entre les parties réciproques des propositions (708), (709), et le concours constant au centre de gravité de 3 ou de 4 points chargés de masses de signes quelconques, des 3 droites joignant, soit chacun au centre de gravité des deux autres (559, 111), soit celui de chaque paire de points à celui de l'autre paire (653, I, 4").
711. Le lecteur trouvera partout des applications fort intéressantes des mêmes théorèmes, et nous ne les reproduirons pas. xMais nous donnerons la suivante, parce qu'elle constitue une proposition capitale de la Géométrie supérieure.
Les systèmes de quatre points (A, B), (P, Q) (fig. 199) et (A', B), (P 5 Q ). tracés simultanément sur deux sécantes quelconques par un faisceau (-X, rîj, '-t\ 5) de quatre droites (distinctes) concourantes ou parallèles, ont toujours leurs rapports anharmoniques égaux (531).
Le fait étant évident quand sont parallèles, soit les quatre droites du faisceau (146), soit les deux sécantes (260, 1), nous considérerons seulement le cas où les premières concourent eu un point O, les dernières en un autre I que nous pourrons supposer étranger aux sécantes, sauf à déplacer l'une d'elles par translation.
