AC AC

-2 AQ -}- CQ

QM ^ ^ QA.QC

AC

=z ABCD

= ABCD (qm' + QA.QC)

On a effectivement BDC + BDA = ABCD, BDC : BDA =z QC : Q A, AQ -f CQ = AC.

Finalement, il reste

BDC.AM' + BDA.CM' = ABCD(QM ^ QA.QC), et, en considérant l'autre diagonale, on trouvera de même

ACD.BM' + ACB.DM' = ABCD (QM' -{- QB.QD^

II. Si, maintenant, on suppose le quadrilatère inscriptible, les derniers membres de ces relations sont d'abord égaux à cause de QA.QC = QB.QD (523), et il vient en conséquence

(2) BCD.Âm'4-BDÂ.CM" = ÂCD.BM' + ÂCB.DM'.

Ensuite, tous les triangles considérés sont inscrits dans un même cercle dont la considération (570), si l'on nomme R son rayon, conduit à

BCD = .l,:4R, BDA = 8:4U, ACD = 35:4R, ACB = (î):4R,

et, pour arriver à la relation {\), il ne suffit plus que de faire ces substitutions dans (2).

716. Les théorèmes classiques auxquels nous avons fait allusion, ne sont plus que les cas particuliers suivants de celui de M. Mannheira.

I. Si l'on place le point indéterminé M en un sommet, A par exemple, la relation (1) perd son premier terme à cause de AM = 0, et CM, BM, DM deviennent CA, BA, DA. En écrivant ensuite, au lieu de S, 93, cD, les produits que ces lettres représentent, et divisant tout par AB.AC.AD, il reste