On en conclut immédiatement que deux assemblages for

DKOITES PEKPENDICULAIRES. Ô.J

mes chacun, par deux droites perpendiculaires constituent deux figures égales. Leur superposition peut s'opérer de huit manières (187, inf.).

97. De tout point extérieur à une droite, on peut lui abaisser une perpendiculaire, et une seule. C'est la droite joignant le point donné au pied du plan perpendiculaire à la proposée, que l'on peut mener par le point considéré (92). Elle est tout aussi bien la trace de ce plan perpendiculaire, sur le plan déterminé par le point et la droite dont il s'agit (21, III).

98. Deux droites D', E' respectivement parallèles à deux droites mutuellement orthogonales D, E (perpendiculaires en particulier), sont également orthogonales l'une à l'autre, perpendiculaires par suite si elles se rencontrent (94).

Car le plan Q que, par hypothèse, on peut faire passer par E perpendiculairement à D, est perpendiculaire aussi sur D' parallèle à D (88), et le plan Q' mené parallèlement à Q par un point quelconque de E' jouit de la même propriété {Ibid.j. Or ce plan Q' contient la droite E' tout entière (59), (50).

99. En particulier : Quand deux droites sont parallèles, toute droite située dans leur plan perpendiculairement à l'une, est aussi perpendiculaire à l'autre. Car cette troisième droite coupe la seconde puisqu'elle rencontre la première (66), et on peut la considérer comme étant une parallèle à elle-même (98).

100. Réciproquement, toutes les perpendiculaires menées à une droite dans un même plan contenant celle-ci sont parallèles entre elles.

Car ce sont les intersections de ce plan par des plans perpendiculaires àla droite donnée (95), partant tous parallèles (90), (57), Ex. : CD, EF, GH, toutes perpendiculaires à AB dans le plan de \afig. 13, sont parallèles.

101. Un plan et une droite, le premier perpendiculaire, l'autre orthogonale (94) à une même droite, sont parallèles. Car la première droite est située dans quelque plan qui est perpendiculaire sur la seconde, parallèle par suite au plan considéré (90), (59).

102. Réciproquement, quand un plan est perpendiculaire sur une droite, toute droite parallèle au plan est orthogonale à la première. Car la seconde droite est située dans quelque plan parallèle au proposé, partant perpendiculaire sur la première (60), (88).

103. Quand deux droites D, E sont parallèles, leurs orthogonales conununes sont évidemment toutes les droites de chacun des

plans [tous parallèles entre eux (90)] qui sont perpendiculaires à toutes deux à la fois (88).

Mais, quand elles ne le sont pas, elles n'ont pour orthogonales communes que les droites [toutes parallèles entre elles (89)] qui sont perpendiculaires sur les plans parallèles aux deux proposées à la fois (51), (62), (88).

Toute orthogonale commune à D, E appartient à la fois aux deux plans qu'il est possible de mener par elle perpendiculairement à ces droites (94) ; et deux plans quelconques perpendiculaires à celles-ci se coupent toujours suivant une orthogonale commune, car, s'ils étaient parallèles, D, E, qui leur sont perpendiculaires, seraient parallèles entre elles (89), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Soit =£ une de ces orthogonales communes, et, par un quelconque de ses points, menons les droites D', E' parallèles à D, E respectivement. Ces droites D', E', distinctes, puisque D, E ne sont pas parallèles (44), déterminent un plan qui est parallèle à D, E à la fois (51), perpendiculaire en même temps à £, puisque ses droites D', E' sont perpendiculaires à £ (98). Toutes les droites telles que £ sont donc perpendiculaires à tout plan parallèle à D, E à la fois, parallèles entre elles par suite (88).

104. Quand deux droites D, E sont parallèles, leurs perpendiculaires communes sont évidemment les traces [toutes parallèles entre elles (88), (57)] que laissent sur leur plan tous leurs plans perpendiculaires.

Mais quand elles ne le sont pas, elles n'ont qu'une seule perpendiculaire commune.

Les droites D, E et une de leurs orthogonales communes £ ne sont pas parallèles à un même plan, car £ est perpendiculaire, non parallèle en conséquence, à tout plan parallèle à D, E à la fois (103).

Le plan cD, mené par D parallèlement à £ (52) n'est donc pas parallèle à la droite E; par suite (71), il la coupe en un certain point e. De même, le plan C, mené par E parallèlement à £, coupera D en un certain point d, et la droite de est une perpendiculaire commune à nos deux droites, puisqu'elle les rencontre toutes deux, étant parallèle à £ comme intersection des plans (D, C parallèles à cette droite (50), orthogonale enfin à toutes deux comme parallèle à leur orthogonale commune £ (103).

D'ailleurs, toute perpendiculaire commune à nos deux droites se confond avec de ; car, étant parallèle à £ ilbid.) et rencontrant D, elle est forcément située dans le plan uD, puis pour la même raison dans le plan C.

Quand D, E sont situées dans un même plan, elles se rencontrent en un certain point O, puisqu'elles ne sont pas parallèles (67), et alors, leur perpendiculaire commune, qui est toujours

DROITES PERPEXDICULAIUES. 37

parallèle à leurs orthogonales communes, se confond évidemment avec la perpendiculaire à leur plan, élevée au point 0.

105. Comme les plans (D, C, du numéro précédent sont tous deux perpendiculaires à ceux qui sont parallèles aux droites D, E à la fois (103), (116, inf.), on peut dire encore que la perpendiculaire commune à deux droites non parallèles s'obtient en coupant l'un par l'autre, les plans menés par ces droites perpendiculairement sur quelque plan parallèle à toutes deux (109, inf.).

Plans perpendiculaires.

106. Quand un plan P contient une droite E perpendiculaire à un autre plan Q, chacun de ces plans contient entièrement toute droite menée par un de ses points perpendiculairement à l'autre.

D'abord, la droite D menée perpendiculairement au plan P par le pied de E sur Q est située dans ce dernier plan, puisque son plan perpendiculaire P passe par la droite E perpendiculaire au plan Q (86, IV). Ensuite, toute droite perpendiculaire au plan Q, par exemple, et qui contiendra un point du plan P y sera située tout entière, parce qu'elle sera parallèle à la droite E de ce plan (89), (42).

107. Cela posé, nous dirons que deux plans sont perpendiculaires, quand, ainsi, chacun d'eux contient toute droite menée par un de ses points perpendiculairement à l'autre, et on pourrait dire que leur droite d'intersection constitue le p/erf de chacun d'eux sur l'autre. (Cf. 93, 94.)

Deux plans concourants qui ne sont pas perpendiculaires, sont dits obliques l'un à l'autre.

108. Un plan perpendiculaire à une droite l'est aussi à tout plan parallèle à celle-ci.

Car ce dernier plan contient quelque droite parallèle à la proposée (50), perpendiculaire par suite au premier (88), (107).

109. Par toute droite non perpendiculaire sur un plan, on peut mener à celui-ci un plan perpendiculaire, mais un seul. C'est évidemment le plan, alors unique, conduit par cette droite et par la perpendiculaire abaissée de l'un de ses points sur le plan donné (91), (21, IV), (107).

Si la droite donnée était perpendiculaire au plan donné, tous les plans qui la contiennent seraient aussi perpendiculaires à ce plan (Ibid.).

Par un même point, on peut mener une infinité de plans perpendiculaires à un plan donné : ce sont tous les plans qui pas-

sent par la perpendiculaire à ce plan, menée du point dont il s'agit.

110. On en conclut immédiatement que deux assemblages composés chacun de deux plans perpendiculaires, constituent deux figures égales. (Cf. 96.) Leur superposition complète s'opérera effectivement, en appliquant l'intersection des plans du premier assemblage et l'un d'eux, sur celle des plans du second assemblage et l'un d'eux. On constatera sans difficulté qu'elle peut être réalisée de huit manières, de chacune desquelles dérivent ensuite une infinité d'autres, par simple translation de l'un des assemblages, exécutée parallèlement à son pied (195, 187, inf.).

111. Quand deux plans qui se coupent sont perpendiculaires sur un même troisième, leur intersection lui est perpendiculaire aussi.

Car elle se confond nécessairement avec la droite que l'on obtient en menant, par un des points de l'intersection, une perpendiculaire au troisième plan, droite qui est située dans chacun des deux premiers (107).

112. Une droite est perpendiculaire sur un plan quand elle est orthogonale à la fois à deux droites non parallèles, dont chacune est située dans ce plan ou même lui est simplement parallèle.

Perpendiculairement à chacune de ces deux droites, on peut effectivement mener un plan qui contienne la première ; ces plans ne se confondent pas, parce que les deux premières droites ne sont pas parallèles (89), et chacun d'eux est perpendiculaire sur le plan proposé (107), (108), (111 >.

113. Quand deux plans sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à leur intersection dans l'un est perpendiculaire à l'autre.

Car cette droite peut être considérée comme l'intersection du premier plan par un troisième qui serait perpendiculaire sur l'intersection des proposés (95), par suite perpendiculaire sur le second (107), (111).

114. Des plans respectivement parallèles à deux plans perpendiculaires le sont aussi l'un à l'autre. (Cf. 87, 98.)

Pour appliquer les premiers sur les seconds, il suffit effectivement, comme au no 87, de leur imprimer une translation amenant un point de leur intersection sur celle des autres (55).

En particulier, un plan perpendiculaire sur un autre l'est aussi sur tous les plans qui sont parallèles à celui-ci..

115. Une droite et un plan, tous deu.v perpendiculaires sur un même plan, sont parallèles.

Car la droite est parallèle à toutes les perpendiculaires au second plan (89), à celles notamment qui sont situées dans le premier (107), (49j.

PLANS PKnrENDICULAlRES. 39

116. Réciproquement, tout plan parallèle à une droite qui est perpendiculaire sur un autre plan; est aussi perpendiculaire sur celui-ci.

Car il contient certainement une droite parallèle à la proposée (50), c'est-à-dire quelque perpendiculaire au plan proposé (,88j, (107).

117. Dans les arts de construction, la réalisation de droites ou de plans perpendiculaires les uns aux autres s'impose à chaque instant et s'opère par des moyens variés qui sont tirés, suivant les circonstances, de telles ou telles propriétés de ces figures. Nous ne pouvons entrer dans ces détails; nous signalerons cependant le plus remarquable et le plus précis de ces procédés, qui est conforme à notre définition de la perpendicularité (^86) et qui est employé dans le façonnage de beaucoup de pièces métalliques. Il consiste à imprimer un mouvement de rotation à la pièce, en la plaçant sur un tour, puis à la tailler suivant un plan que ce mouvement laisse en application sur lui-même. Ce plan est alors nécessairement perpendiculaire sur l'axe de la rotation.

Nous indiquerons plus tard les procédés propres au tracé des épures. (202, Cliap. XX, inf.)

Nature du mouvement d'une figure dont un plan glisse sur un plan fixe.

118. Tout glissement d'une figure plane mobile sur un plan fixe (20, IV), peut être remplacé par une translation et une rotation exécutées toutes deux dans ce plan (.35), (83;. En outre, an semblable mouvement peut amener toute demi-droite de la figure mobile sur toute demi-droite du plan fixe.

Soient m, n, deux points distincts pris arbitrairement dans la figure mobile/, et Mj, N^ (fig. 14), puis Mj, N.j, leurs positions initiales et finales sur le plan fixe P, les figures solides partielles [mn], [MjN,], [M-^Nj]» constituées par ces trois paires de points, étant ainsi égales deux à deux.

La translation de la figure / qui est capable de déplacer m de Mj en M2 (38, I), la laisse dans le plan P (36, II), plaçant n en un certain point N' du plan fixe, et la figure partielle [MgN'] est encore égale à [MjNj].

I. Si donc les demi-droites M^N', MgNg coïncident, le point N' coïncidera avec N.,, car, autrement, l'application point sur point de la figure [M.jX'] sur son égale [M.2N2] fournirait une manière différente de faire coïncider ces deux demi-droites, ce qui ne peut être (24). Et alors / aura atteint sa position finale, puisque ses points distincts m., n ont atteint les leurs (33).

II. Sinon, une rotation convenable de /autour de Mj pris pour pivot, fera passer la demi-droite mn de la position M2N' à la position M2N2 (83), et en même temps, comme ci-dessus, amènera en leurs positions finales le point n aussi, par suite la figure /tout entière, cela sans qu'elle cesse de demeurer appliquée sur le plan fixe.

III. Soient enfin om, OM, deux demi-droites, l'une sur la figure mobile, l'autre sur le plan fixe. Une translation convenable amènera om en OM', demi-droite issue de 0 dans le plan fixe, et une rotation convenable la fera passer de OM' à OM.

119. Un déplacement d'une figure quelconque f qui laisse un de ses plans p appliqué sur un plcm fixe P de l'espace, équivaut à une translation parallèle à ce plan (c'est-à-dire ayant ses glissières parallèles à P), suivie d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au même plan.

Car le passage des divers points du plan p à leurs positions finales peut être réalisé (118) par une translation dont les glissières sont parallèles au plan P et un pivotement qui équivaut à une rotation exécutée autour d'un axe élevé par ce pivot perpendiculairement au même plan (84, V). Or, tous les points de la figure mobile sont certainement placés dans leurs positions finales quand trois points seulement pris sur le plan p, non en ligne droite, ont atteint les leurs (34).

120. Un déplacement du genre ci-dessus (119) fait simplement glisser sur lui-même (20, IV) tout plan de la figure mobile qui est parallèle au plan directeur P.

Car ayant, l'une, des glissières dans le plan mobile (77), l'autre, son axe perpendiculaire au même plan (88), la translation et la rotation, dont la succession équivaut au déplacement considéré (119), n'impriment chacune au plan mobile, qu'un glissement sur lui-même (36, II), (86).

A cause de cela, on spécifie un pareil mouvement en disant qu'il s'eff'ectue parallèlement au plan P.

Plus tard {V. Additions, inf.), nous verrons qu'un déplacement quelconque d'une figure solide équivaut à la combinaison d'une translation et d'une rotation, dont les glissières et l'axe sont parallèles.

121. Le même mouvement déplace simplement à travers luimême, tout demi-espace dont le plancher est parallèle au plan directeur.

Car, en vertu de ce qui précède, la droite qui joint les positions initiale et finale d'un point quelconque de cette région, est parallèle à ce plancher (59) et, par suite, ne le rencontre pas (47), (26). (Cf. 78.)