Nous commençons par un lemme indispensable

Le lieu A des points dont le rapport des distances à deux points fixes R, S offre une valeur constante r : s, sépare sur le plan deux régions continues [R], [Sj qui contiennent ces points R, S respectivement, et dans la première desquelles, ou dans la seconde, se trouve un point quelconque m, selon quil donne

I. En supposant r<s, le lieu A est le cercle qui a pour diamètre la distance M,M.2 (fig. 145) des points divisant RS dans le rapport r : s (555), et les régions [R], [S] sont constituées par son intérieur et son extérieur respectivement (500). Comme son centre O divise extérieurement RS dans le rapport /•- : s-, on a, pour un point m donnant lieu à la première inégalité (2),

s^.Rm' < r^.Sm',

/•2 . Sm' - s- . Rm" = r- . Sô' — s- . Ro' — (s^ - ;•- ) Ôm' (553, II),

d'où

__-.. /•^.SÔ'-sS.RT)' r- .Sm' — S" .Mj' r^SÔ"' — s^.RÔ' ()„,- — ^ < ^

Le point m est donc dans l'intérieur [R] de ce cercle, puisque le dernier membre de la relation précédente est précisément le carré de son rayon (555). Raisonnement tout semblable, s'il s'agit de la seconde inégalité (2).

II. Quand r=zs, le lieu A est la perpendiculaire au segment RS en son milieu, et les régions [R], [Sj sont les demi-plans AR, AS; car en appelant '^ le pied de la perpendiculaire abaissée de m sur RS, on a Wni' — Sni' = Rcj" — Std" (254), et le fait en question s'aperçoit plus facilement encore.

719. Une conique est rencontrée par une droite quelconque en des points (distincts) dont le nombre est égal ou inférieur à 2 ; elle est donc une ligne courbe.

I. Si la sécante 9 (fig. 203) coupe la directrice en quelque point J, et si Q,M, est la distance à la directrice, de quelqu'un de ses points appartenant aussi à la ligne, le triangle rectangle JQ,M, donnera C^,M| = JM|.sin J, et la relation de définition (1) conduira à FM, = esin J.JM,, d'où la situation de M, sur le lieu A des points dont le rapport des distances aux points F, J

INTEHSECTIONS d'UNI: CONIQUE ET d'UNE DROITE. 401

est esinJ (555), cl la possibilité de le trouver, en coupant la sécante par la ligne A. Ce lieu étant une circonférence, ou bien une droite évidemment non identique à la sécante, le noiubre des points où il rencontre celte dernière ne peut être que 2, 1, 0, au gré de circonstances restant à discuter.

II. Si, parallèle à la directrice {fig. 204), la sécante en est séparée par une distance /, la même relation (1) donnera FM, = e.Q,M, = c/; on obtiendra les intersections chcrcbées, en coupant la sécante par une circonférence de centre F, de rayon el, qui représente ici le lieu A, et la même conclusion s'imposera.

III. On remarquera qu'«/u' droite coupe toujours la conique, quand elle contient quelque point l dont les distances Fi, c|l au foyer et à la directrice donnent FI : ql < c.

Si la sécante rencontre la directrice en J (Jig. 203), (I), on a aussi bien FL : JL < e sin J, et quand ^'sinJ est > 1, A est un cercle auquel un certain point de la sécante est toujours intérieur, savoir L dans le premier cas, J dans le second (718), (500). Quand csinJ = l, A est une perpendiculaire sur FJ, et la sécante ne peut l'être puisque alors on aurait Fi : JL > 1, inégalité contraire aux hypothèses FL : JL < esin J, esin J ^ 1.

Si la sécante est parallèle à la directrice (II), son point l (fig. 204) est toujours intérieur au cercle A, de centre F, de rayon el, puisqu'on a par hypothèse FI <e/.

Cette remarque conduit à une distinction fort importante entre les points étrangers à la conique, dont le rapport des distances au foyer et à la directrice est inférieur à l'excentricité, ou la surpasse : les premiers sont dits intérieurs à la courbe, les autres lui sont extérieurs (Cf. 500).

D'après cela, le foyer est intérieur, et tous les points de la directrice sont extérieurs.

IV. Une particularité intéressante encore, est celle où le lieu A est un cercle tangent à la sécante, où, par suite, les traces de celle-ci sur la conique consistent en un point unique M doublé par lui-même.

Tous les points d'une pareille sécante, sauf M, sont extérieurs à la conique, car autrement le fait en question ne se produirait pas (III).

Quand il en est ainsi dans le cas I, et comme F est le conjugué harmonique de J par rapport aux traces du cercle A sur son diamètre FJ (529), la droite F'.M est la polaire de J dans ce cercle (515), (531), perpendiculaire peu- suite à FJ. Les choses se passent de la même manière dans le cas II, où M est visiblement un sommet de l'axe focal (720, II, inf), {Cf. 721, inf.).

720. Deux observations s'ajouteront utilement à ce théorème. I. Dans l'immense majorité des cas, une courbe ne peut être

tracée au moyen d'un instrument facile à manier, comme la règle pour les droites, le compas pour les cercles. On est alors réduit à la construire par points, c'est-à-dire à en chercher individuellement des points assez nombreux et rapprochés, pour qu'en les réunissant par un trait continu et régulier, on obtienne l'arc dont on a besoin, sans laisser place à une erreur nuisible. Quand il s'agit d'une courbe plane, le procédé courant consiste à la couper par des lignes auxiliaires tracées dans son plan, dont les intersections avec elle soient faciles à déterminer, des droites presque toujours, des cercles très fréquemment encore.

Pour une conique, les considérations précédentes (719) montrent qu'on peut employer des droites comme lignes auxiliaires, et qu'il est commode de les prendre parallèles entre elles (par exemple perpendiculaires à la directrice), afin de rendre constant le rapport e sin J. Le mode le plus avantageux consiste à les choisir parallèles à la directrice, pour donner le même centre F à tous les cercles de rayons el, par lesquels il faut les recouper. La directrice ne rencontre jamais la courbe ; pour elle, on a effectivement / = 0, et le cercle de rayon el dégénère en un simple point F qui lui est étranger.

II. La perpendiculaire Fd abaissée du foyer sur la directrice est un axe de symétrie de la courbe, qui la coupe en 2 points ou 1 seulement, suivant que e est ^1 ou=i \.

Le premier fait résulte en particulier de la symétrie constante par rapport à cette perpendiculaire, des deux points M,, Mo (pg. 204) fournis sur chaque sécante parallèle à la directrice, par le dernier des procédés mentionnés ci-dessus (501).

Cet axe passant ainsi par le foyer, est dit focal, pour le distinguer d'un autre existant encore dans la plupart des cas (728, 737, inf.).

La courbe possède évidemment sur son axe focal, les deux points ou le seul, divisant son module F^ dans le rapport e (133). Chacun est un somnut, cette dénomination s'appliquant à tout point ordinaire d'une courbe ou d'une surface, qui se trouve sur un axe de symétrie (474, IV). L'un d'eux A intérieur au module Ft>, existe toujours, et nous le dirons connexe au foj'er F, à la directrice CD. L'autre, extérieur, disparaît quand e ^ 1 (744, II, inf).

721. Une conique n a aucun point singulier (nous ne pouvons le constater ici), et sa tangente en M, qui est parallèle à la directrice s'il s'agit d'un sommet de l'axe focal (VI ^, IV), (720, II), la coupe dans tout autre cas, au point T tracé sur elle par la perpendiculaire élevée en F sur le rayon vecteur FM.

La droite m'm" (fig. 205) qui joint deux points m', m" infiniment voisins d'un point fixe M de la courbe, étranger à l'axe focal, finit par couper sans cesse la directrice en quelque