TANGENTES

point /; car si elle revenait toujours à une position parallèle, m', m" reviendraient à une symétrie réci[)roque relativement à l'axe (720, II), à se trouver de part et d'autre de lui en particulier, ce qui est impossible. En outre, ces points m', m" infiniment voisins de M qui ne peut appartenir à la directrice (Ibid. I), finissent par rester tous deux du côté de cette droite où M se trouve, ce qui pFace le point / toujours à l'extérieur du segment m' m".

Si maintenant, q' , q" sont les pieds des distances des mêmes points à la directrice, les égalités Fin' = c.q'in', Fm" ^e.q"m", l'équiangularité évidente des triangles m'iq' , m"tq" conduisent aux proportions Fm' : Fin" :=q'm' : q"in", q'in' : q"in" =: fm' : tm", et celles-ci à Fm' : Fm" = lin' : tin", montrant (557) que la droite Ft est sans cesse la bissectrice extérieure de l'angle in'Fm". Comme la trace m de la bissectrice intérieure du même angle sur la sécante mobile, est intérieure au segment m'in", elle a aussi la position-limite M commune à ses extrémités, et, comme l'angle mFt est toujours droit (264), la position-limite de la droite Ft est la perpendiculaire élevée en F sur FM, celle de sa trace t sur la directrice est la trace T de cette perpendiculaire. La sécante mobile, guidée par les points m, t ayant M, T pour positions-limites, possède donc au même titre la droite MT joignant ces dernières (446, II).

Cette propriété des tangentes les confond avec les droites qui rencontrent la courbe en deux points confondus (719, IV), montrant ainsi, que, sur chacune, tous les points sont extérieurs à la conique, à l'exception de celui de contact.

722. Le nombre des tangentes à la courbe, qui passent par tout point donné I, peut être égal à 2, jamais supérieur.

I. En supposant I étranger à la directrice, soient M,, T, ifig. 206) le point de contact, la trace sur la directrice, de quelque tangente issue de I et la coupant, puis H, Q, les pieds des distances de I, M, à la directrice, FM, le rayon vecteur de M, , perpendiculaire à FT, (721), et K, le pied de la distance de I à FT,. Les points, I, M, étant en ligne droite avec T,, on a