IH M,Q

d'où IK, =e.IH. Toute trace T, sera donc celle aussi sur la directrice, d'une tangente menée de F à la circonférence {-) décrite de I comme centre avec e.IH pour rayon; la tangente correspondante est IT,, ayant pour point de contact son intersection M, parla perpendiculaire élevée en F sur FT,.

L'existence de cette tangente exige d'abord que le point donné I soit extérieur à la courbe (719, III), afin que l'inégalité FI > e.HI rayon du cercle auxiliaire 0, rende F extérieur à celui-ci

(513). Il suffit ensuite que la perpendiculaire FM, ne soit pas parallèle à la tangente présumée IT, (726, 735, 744, inf.).

Quand FK,, tangente au cercle auxiliaire, est parallèle à la directrice, il en est de même pour IM,, tangente correspondante à la conique, et M, est un sommet de l'axe focal. Sauf cette particularité, rien n'est changé aux choses.

II. Quand I appartient à la directrice, les points de contact des tangentes issues de lui s'obtiennent évidemment en coupant la conique par la perpendiculaire élevée en F sur FI, et, comme ci-dessus (I) le problème ne peut avoir plus de deux solutions (719) ; ces deux solutions existent même toujours, parce que F est un point intérieur {Ibid. III).

723. Parallèlement à toute droite donnée 3, on ne peut mener à la courbe plus de deux tangentes.

I. Si la droite 3 n'est pas parallèle à la directrice, soient encore M,T, (fig. 207) une tangente répondant à la question, P'M, et Q.M, le rayon vecteur du point de contact M, et sa distance à la directrice, le premier perpendiculaire sur FT, , puis V un point autre que F, pris arbitrairement sur la parallèle menée par F à 3 ainsi qu'à la tangente, K', le pied de la tlistance de F à FT,, et H' celui de la distance du même point à une parallèle à la directrice, menée par F.

L'homothétie évidente des figures FrK',H', T,iM,FQ, (396) donne immédiatement FK'^ : l'H' = M,F:M,Q, =e, d'où l'K', = e.I'H', et la trace Tj est celle aussi de quelque tangente menée de F à une circonférence B' de centre F, de rayon l'K', ^e.H'V. La tangente correspondante est la parallèle menée par T, à 3, coupée en son point de contact M, (s'il y a lieu) par la perpendiculaire élevée en F sur FT, (726, 735, 744, //{/.).

II. Si la droite J est parallèle à la directrice, les deux sommets ou le seul que la courbe possède sur son axe focal (720, II) sont les points de contact des tangentes cherchées. Il n'en existe aucun autre, puisqu'en tout point étranger à l'axe la tangente rencontre la directrice (721), et, comme ci-dessus (I), le nombre des solutions est ^ 2.

724. Une ligne, une surface, est dite algébrique, quand il est possible de la considérer comme lieu d'un point dont les positions donnent satisfaction à des relations purement algébriques entre leurs distances variables à des droites, plans (points), tous fixes (et des quantités constantes de natures quelconques;. Elle est transcendante, quand c'est impossible.

Les figures algébriques composent une famille immense dont l'importance est capitale ; parmi elles se trouvent toutes celles que nous avons étudiées jusqu'ici : la droite et le plan (257 et suiv.), le cercle (497), (505), la sphère (632;, (636), les cylindres et cônes circulaires (660, IV), évidemment encore (748 II, inf.).

Pour chacune, on démontre l'existence de deu.x entiers caractéristiques