ORDRE, CLASSE DES CONIQL'ES. — SIMILITUDE
dits : I, son ordre, II, sa chisae, qu'atteignent très fréquemment sans pouvoir s'élever au-dessus :
I. Le nombre des points où elle est rencontrée : 1», s'il s'agit d'une ligne, par un plan n'en contenant pas toute une région (par une droite n'en faisant jias partie, quand elle est plane); 2", s'il s'agit d'une surface, par une droite n'y ayant pas tous ses points ;
II. Le nombre des plans tangents pouvant lui être menés par une droite n'y ayant pas tous ses points, ou parallèlement à un plan quelconque (par un point étranger ou parallèlement à une droite, s'il s'agit d'une ligne plane).
Par exemple, l'ordre est ;= 1 pour les droites (18, l\') et les plans (21, VIII); = 'J pour les cercles (499), les sphères (633), les cylindres et côues circulaires, évidemment aussi. La classe est =: 1 (à la rigueur) pour les droites, plans et pour un point unique envisagé comme un lieu; = 2 pour une i)aire de poiiits distincts et pour les figures courbes d'ordre 2 mentiounccs à l'instant. (513), (517), (642), (643), (483), (494).
Les coniques, lieux évidenuncnt algébriques, sont donc, comme le cercle, d'ordre 2 (719), et de classe 2 (722), (.723).
725. Deux coniques sont semblables ou non, selon que leurs excentricités sont égales ou inégales.
La similitude ne peut exister quand les excentricités sont inégales, car toute figure semblable à l'une d'elles est évidemment une conique aussi, de même excentricité. Mais elle est assurée par l'égalité de ces nombres, en vertu du théorème général du n"^ 408 et du fait évident que les courbes sont superposables quand, en outre, leurs modules sont égaux; leur rapport de similitude est celui des modules, évidemment. (Le lecteur constatera bien facilement qu'en plaçant les coniques de manière que leurs foyers et axes focaux coïncident, on les rend homothétiques par rapport au foyer commun, cela directement ou inversement, selon que ce point est extérieur ou intérieur à la bande limitée par leurs directrices.)
Dans leurs formes, les coniques ne dépendent donc que des valeurs de leurs excentricités, et on a été conduit à en faire trois genres très naturels, que nous allons étudier séparément : ï ellipse, où e < 1 ; l'hyperbole, où e >1 ; et la parabole, où e = 1.
Ellipse (e < 1).
726. Quand il s'agit d'une ellipse (725), plusieurs particularités s'aperçoivent immédiatement
L Le lieu A du n° 719 est toujours un cercle auquel le foyer F est intérieur, le point J extérieur.
Si la sécante 'J rencontre la directrice, le rapport e sin J à considérer, est effectivement <1, à cause dee<l, sin J < 1 (240), (718). Si elle lui est parallèle, le fait est évident.
II. A tonte corde et à lellipse sinuiltanémenl, an point pris sur la droite de la première est intérieur on extérieur.
Car le rapport e sin J étant toujours <1 (I), le point considéré est intérieur au cercle A dans le premier cas, extérieur dans le second (522), (718), (719, III).
III. Outre son sommet permanent A connexe au foyer (720, II), l'ellipse en possède sur son axe focal un second A' (fig. 208), limitant avec le premier, un segment auquel F est intérieur, <> extérieur, et tous les points de la courbe sont situés dans la bande limitée par les tangentes en A et A'.
Car e étant < 1, le module FD peut être divisé dans ce rapport, non seulement en A intérieurement, mais extérieurement en A', et comme FA' = e.t) A' est <DA', les directions FA', Fi) sont opposées, alors que FA, Fd^ sont identiques ; FA, FA' sont donc opposées, et F est intérieur au segment AA', d évidemment extérieur.
Pour qu'une sécante parallèle à la directrice rencontre la courbe en M, N, il faut (II) et il suffit (719, III) que son pied P sur l'axe focal, milieu de MN(720, II), soit intérieur à la courbe puisqu'il l'est à cette corde, c'est-à-dire que FP:c^P <e, ou bien (718), et toujours à cause de e<l, que P appartenant à la sécante FtV soit intérieur au lieu des points dont le rapport des distances à F, d est = e (719), et par suite au segment AA' diamètre de ce cercle (555).
La corde AA' est ainsi la plus grande de toutes, puisque, sur elle, la projection orthogonale d'une autre quelconque n'en couvre jamais qu'une partie (Cf. 728, III, inf.).
IV. Les deux tangentes ci l'ellipse issues d'un point extérieur I (722) existent toujours, ainsi que leurs points de contact INI,, M^, et tous les points de la courbe sont à l'intérieur de l'angle saillant M.LM...
1° La longueur e.IH ifig. 206) est < IF parce que I est extérieur à la conique, et < IH parce que e est <1 pour une ellipse; comme elle est le rayon IKj du cercle auxiliaire f) du numéro cité, ce cercle laisse le foyer à son extérieur et ne rencontre pas la directrice. Il en résulte que les tangentes issues de F à ce même cercle existent distinctes, que le point de contact K, d'une quelconque est étranger à la directrice, que, par suite, le rayon IKj ne peut se confondre avec la droite menée de I, soit à la trace T^ de la tangente présumée sur la directrice, soit parallèlement à cette tangente si celle-ci ne rencontre pas la directrice, qu'en conséquence, cette droite menée ainsi par I est bien une tangente à l'ellipse, puisqu'elle est rencontrée en quelque point M, par la perpendiculaire en F sur FK, (721).
2° Soient MjM.^ (fig. 208) le segment limité parles points de contact des tangentes considérées, et L un point à lui intérieur, quelconque ; connue L est intérieur à l'ellipse aussi (I), la demi-droite
DISCUSSION DE l'ellipse. 407
IL, intérieure à l'angle saillant M|IM^, rencontre la courbe en quelque point m. Mais aucun point n de celle-ci ne peut être extérieur à cet anj^le, car mn serait une corde de l'ellipse que l'un des côtés de l'angle rencontrerait certainement en quehiue point /■ intérienr à ce segment, à la courbe par suite, et ceci est impossible puisque /est situé sur une tangente (721).
V. Les deux tangentes à V ellipse pdrallèles à toute droite 3 (723) existent toujours, ainsi que leurs points de contact M,, M,, et tous les points de la courbe sont à l'intérieur de la bande M,3M.2 dont les côtés sont issus de ces points parallèlement à 3.
Raisonnement identiciue fondé sur ce que le cercle 0' du numéro cité ne peut avoir le foyer F à son intérieur, ni rencontrer la droite FH' parallèle à la directrice.
VI. De cbacun des alinéas IV, V, il résulte inuuédiatement que l'ellipse est une courbe limitée. Par exemple, elle n'a aucun point extérieur à tout parallélogramme circonscrit, et elle en possède toujours (deux) sur toute parallèle à un côté, menée par un point intérieur, ... On pourrait en conclure encore la continuité de la courbe, mais cette propriété est une conséquence bien plus visible de la relation (1) ci-aprés.
727. En appelant MP (fig. 209) la dislance d'un point quelconque M de l'ellipse à son axe focal, et PA, PA' celles aux sommets A, A' situés sur cet axe, de son pied P toujours intérieur au segment AA' (726, III); on a sans cesse
(1) MP^ = (1 — e^)PA.PA'.
Réciproquement, si P est intérieur éi AA', et si cette relation a lieu, le point M appartient à l'ellipse.
La substitution de FP' + MP' à FM", dans la relation fondamentale (1) du n" 717, élevée au carré, conduit immédiatement à
MP' = e2 . Qm' - Fp' = e- .5p' - Fp' = (e .DP -f FP) (e . 0 P - FP).
Or, d'après le n" 137, le premier facteur est égal au produit obtenu en multipliant par 1 -{- e la distance de P au point divisant intérieurement le segment dF dans le rapport 1 : e, c'est-à-dire à (1 -\-e) PA, et le second, pour lequel la division du même segment dans le même rapport doit être faite extérieurement, est égal à (1 — e) PA'. L'égalité précédente devient donc
MP' r= (1 + e)PA.(l - e)PA' = (1 — e-2)PA.PA',
c'est-à-dire la relation (1).
Pour établir la réciproque, il n'y a, évidemment, qu'à revenir à la relation fondamentale FM;=:e.QM par des transformations inverses.
728. Cette nouvelle propriété de l'ellipse a des conséquences importantes.
I. La courbe admet pour second axe de sijmélrie, la perpendiculaire élevée sur l'axe focal en O, milieu du segment AA' limité par les sommets de l'axe focal, et pour centre de symétrie, ce même point O par suite (425).
Car, si M', M'P' désignent le symétrique d'un point quelconque M de l'ellipse par rapport à ce second axe et sa distance au premier, on a MT' = MP, OP' = OP, d'où P'A = PA', P'A' = PA, puis M'P'' = (1 — e-) P'A'. P'A, et ce point M' appartient aussi à la courbe (727).
II. Les symétriques F', (0' par rapport à ce second axe, au centre O tout aussi bien, du foyer F et de la directrice (*?, placés comme ceux-ci, l'un sur l'axe focal, l'autre perpendiculairement, sont un second assemblage d'un foyer et d'une directrice connexes, relativement auxquels la courbe a la même excentricité e et le même modvle n\.
On a évidemment F'D^' = Fc^:=nx.
Si ensuite, F'M, Q'M sont les distances de F', (D' à un point quelconque M de la courbe, et si M', FM', QM' sont le symétrique de M par rapport au second axe, ses distances à F, (D, on a F'M — FM', Q'M = QM', d'où F'M : Q'M = FM' : QM' = e, puisque M' appartient aussi à l'ellipse (I).
III. Le second axe coupe l'ellipse en deux nouveaux sommets B, B' (720, II) dont les distances OB p: OB' au premier surpassent celles de tous les autres points.
On a effectivement PA = OA ^ OP , PA' = OA' ± OP = 0A ± OP, et la relation (1) devient
(2) MP' = (1 — e2)((M'-0P'),
montrant que la plus grande valeur possible de MP est OB = OB' = \/l — e- OA, atteinte quand P se place en O.
Comme à cause de 1 — e"<l, OA est > OB, et la même inégalité existe entre les doubles de ces longueurs, AA', BB', segments qu'en conséquence on nomme le grand axe et le petit axe de l'ellipse, et que l'on représente habituellement par les notations 2a, 2b.
IV. Entre le module nx = F^^ de l'ellipse, son excentricité e, ses demi-axes a = OA = OA', 6 = OB = OB', et la distance commune c = OF = OF' de ses foyers au centre O, on a les relations
RAYONS VECTEURS d'L'N POINT DE l'eLLIPSE. 409
Pour obtcMiir les deux premières formules, il faut faire la demi-somme, ensuite la demi-différence, des distances à F, enx : (1 -|- e), enx : (1 — e), des points A, A' divisant FO =nv dans le rapport e, intérieurement et extérieurement.
La longueur c étant . celle dont chaque foyer est éloigné du centre, le nombre e=^c:a (3) se présente comme le rapport de cet écartement à la plus grande distance du centre aux points de l'ellipse, d'où son nom d'excentricité.
En vertu de l'égalité (4), a, b, c sont l'hypoténuse et les côtés d'un même triangle rectangle, d'où la construction immédiate de l'un de ces segments, dés (jue les deux autres sont connus.
V. Le pied R de la dislance d'an point quelconque M de Vellipse à son axe non focal, est intérieur au segment BB' (726, V) et ion a la relation
(5) MR' = 1^] RB.RB' (Cf. 727).
En posant, pour abréger, OP = MR = .r, MP = OR=i',
l'équation (2) s'écrit
ou bien
b'X'^ ! (i^ ijï :^ o- if- ^
car OA = a, et la formule (4) donne 1 — e- ^b' : a-. Or, de cotte dernière, on tire immédiatement
b'-y' (b + yXb-y) b^ c'est-à-dire l'égalité constante (5), à cause de MR=:.r, RB = OB=pOR = Z>^y, RB' = OB' ± OR = ^ - y.
729. La somme FM -~ F'M (fig. 209) des rayons vecteurs allant des deux foyers à un même point quelconque M de l'ellipse, conserve une vcdeur constcmte égale cm grand axe 2a.
Les directions AcV, AA' sont opposées, parce que A intérieurement, A' extérieurement, divisent le module Fd^ dans le même rapport e < 1 ; pour une cause identique (728, II), A'D' est opposée à A'A, identique par suite à AA' qui l'est ainsi à Ac^' ; A, puis A' semblablement, sont donc intérieurs à ?cV', d'où, pour la bande limitée par les tangentes en A, A', la propriété d'être intérieure à celle lû) J?' comprise entre les directrices. Le point M, toujours intérieur à la première (726, III), l'est donc à la seconde, et l'on a QM -^ Q'M = QQ'. Maintenant, les égalités FM = e.QM, F'M = e. Q'M donnent immédiatement
FM4-F'M=e(QM + Q'M) = e.QQ' = f.00' = const.,
et cette constante est =2a, comme il est facile de s'en assurer par le calcul de dd^', ou bien parce qu'en plaçant M en A, on a FM + F'M = FA + F'A = FA + FA' = AA'.
Il est à peu près évident, qu'nn point quelconque I est intérieur ou extérieur à l'ellipse, selon que FI -}- F'I, somme de ses distances aux foyers, est <2a ou > 2a.
730. La tangente en M ifiç]. 209) est la bissectrice des angles FMF',, F'MF, formés par chaque rayon vecteur et le prolongement de l'autre.
Si M n'est pas un sommet de l'axe focal, soient T, T' les traces de la tangente sur les directrices. Les triangles MQT, MQ'T' évidemment équiangles donnent TM : T'M = QM : Q'M = e.QM : e.Q'M = FM : F'M, et cette proportionalité de TM, FM à T'M, F'M rend équiangles les triangles MFT, MF'T' rectangles en F, F' (721). On a donc angle TMF = angle T'MF' = angle TMF',, les directions MT, MT' étant d'ailleurs opposées puisque M est intérieur à la bande (Î>(Â)' (729).
731. Ces dernières propriétés de l'ellipse conduisent, pour quelques problèmes, à de nouvelles solutions que nous indiquerons sommairement.
I. Construire une ellipse par points (720, I), connaissant en positions et en grandeurs, ses deux axes AA' = 2a, BB' = 26(< 2a).
Le centre O est l'intersection des perpendiculaires AA', BB'.
Comme entre OA = a, OB = b, OF — OF' ^^ c, la relation (4) donne c' ^^a"^ — b-, c est le second côté de l'angle droit dans un triangle rectangle dont l'autre est b, avec a pour hypoténuse. On trouvera donc F, F', en coupant la droite AA' du grand axe par une circonférence ayant a pour rayon, et l'un des points B, B' pour centre.
On obtiendra autant de points de l'ellipse qu'on le voudra, en coupant l'un par l'autre, deux cercles décrits de F, F' comme centre, dont les rayons sont, l'un arbitraire, l'autre égal à l'excès de 2a sur celui-ci (729).
Théoriquement, on décrira l'ellipse d'un mouvement continu, par la pointe d'un instrument traceur, bridée et dirigée dans son mouvement par un fil flexible de longueur 2a, dont les extrémités sont fixées aux foyers ; mais ce procédé n'a quelque valeur pratique que quand les données sont très grandes par rapport aux dimensions des instruments, quand il s'agit par exemple d'un tracé sur le terrain.
La seconde des formules (3) donne e=:c :a = va^ — b- : a. Pour la distance rf = 0c>^ = 0cV' des directrices au centre, on a d=:c-{-nx; d'où, par la même formule, rf=^nv : (1 — e-), puis, par la première, d^=a:e, et, par la seconde encore, cd^^cfi. On obtient donc d par une troisième proportionnelle à c, a.
