SOLUTIONS SPÉCIALES DE PROBLÈMES SUR L'ELLIPSE

II. Dans ce qui va suivre, le premier rôle est joué par le cercle décrit d'un foyer comme centre avec 2(i pour rayon, et nommé le cercle directeur de ce foyer. L'autre foyer lui est toujours intérieur, à cause de 2c<2a.

Le cercle [M] (fig. 210) ayant pour centre tout point M de l'ellipse et j)assant par un foyer ¥, est tangent intérieurement au cercle directeur [F'] de l'autre foyer, en un point F qui est le symétrique de F par rapport à la tangente en M.

D'après l'égalité FM -\- F'M = 2« ou F'M = 2 a — FM (729), la distance F'M des centres des deux cercles est égale à la diflérence de leurs rayons, et ils ont un contact intérieur F rcnciant le segment MF égal à MF, opposé à MF' (578, III).

Le triangle FMF ainsi isoscéle, a pour axe de symétrie la bissectrice Mf de son angle en M (238); or celle-ci est précisément la tangente à l'ellipse au même point (730).

Le segment MF est la plus petite des normales menées de M au cercle directeur, parce qu'il n'en contient pas le centre F' (534); l'ellipse peut donc être considérée encore, comme le lieu des points M équidistants d'un cercle [¥' et d'un point F qui lui est intérieur.

III. Construire les intersections de l'ellipse et d'une droite donnée y.

Ces intersections étant les centres de cercles passant par F et tangents au cercle directeur [F'] (II), on les obtiendra en cherchant les centres de pareils cercles, qui sont situés sur la sécante donnée, c'est-à-dire évidemment, ceux de cercles passant par F, par son symétrique <î> relativement à la sécante, et tangents au cercle [F'] (501).

A cet effet, on considérera un cercle [F] issu arbitrairement de F, <î>, et on prendra l'intersection J de F»!) corde commune à (FJ et à [M] l'un des cercles inconnus, par l'axe radical de [F] et de [F'] (579). Ce point J, centre radical des cercles [F], [M], [F'] (586), appartient à la tangente commune aux deux derniers en leur point de contact. On trouvera donc ce point de contact, en menant de J quelque tangente Jt». à [F'] (513 et suiv.); M, centre de [Mj, sera la trace de F'ix sur la sécante 9\ Il y a généralement deux solutions, comme nous l'avons déjà vu au n" 719 (précisément, 2, une seule double, ou aucune, selon que <& est intérieur, afférent ou extérieur au cercle directeur [F'").

IV. Construire la tangente en un point donné M {fig. 210). On prendra la bissectrice extérieure MT de l'angle FMF' (730).