V. D'un point étranger I, mener une tangente

Soient DIT une tangente de cette sorte, et F le symétrique de F par rapport à elle, situé sur le cercle directeur F'] (II). Comme on aIF=i IF évidemment, on obtiendra ce point F en coupant le cercle directeur par un autre ayant I pour centre et IF pour rayon. La tangente sera la perpendiculaire IT abaissée

de I sur FF, et son point de contact M, la trace de F'F sur cette perpendiculaire.

VI. Mener à l'ellipse une tangente de direction donnée J. On obtiendra évidemment le symétrique F de F par rapport à la tangente inconnue, en coupant le cercle directeur [F'] par une perpendiculaire abaissée de F sur une droite quelconque de direction 3; on achèvera ensuite comme ci-dessus (Y).

732. Une correspondance univoque (395), très simple et des plus intéressantes, conduit par voie indirecte, à de nouvelles solutions pour plusieurs problèmes sur l'ellipse.

I. Etant donnés deux nombres constants X,, Xj (tous deux non nuls), puis, dans un même plan, une droite 3G dite axe (fig. 211), et une direction (©, toutes deux fixes et non parallèles, la correspondance en question s'établit entre les points de deux figures -?,, r'f^ situées dans ce plan, consistant en ceci: le segment MjMj compris entre denx points homologues demeure parallèle à (D, et Vaxe X, le divise en M„ dans le rapport X, : a.,, soit extérieurement toujours, correspondance positive, soit intérieurement, correspondance négative.

Quand la correspondance est positive, avec X, =X.2, les points d'une figure se confondent tous avec leurs homologues ; sinon, les points de l'axe sont évidemment les seuls doubles (402).

II. A toute droite OTL, dans une figure, correspond dans Vendre une droite Olt^ aussi, et, entre OFo,, OlL'o ^t l'axe M, il y a toujours à la fois, soit parallélisme, soit concours en un même point.

Si l'on nomme efTectivement Mi un point quelconque de .TTO,, Mç; son homologue, Mq la trace de la droite MjMo sur l'axe, et, si pour fixer les idées, on suppose la correspondance positive, avec X, > X2, la proportion M^M, : MqMj = X, : Xj donne, pour le segment M,M2 = MoM, — MqMj, l'autre proportion M,M.2:MoM2 = (Xi — X.2) : X2 montrant la constance du rapport des distances du point mobile M2 aux droites fixes OIL^,, cX), mesurées parallèlement à (0, dans des conditions topographiques rendant applicables les théorèmes des n'* 259 et suivants.

On voit immédiatement, que les seules droites doubles sont l'axe 56, lieu des points doubles, et les parallèles à la direction (0.

Tout ceci montrerait facilement, que notre correspondance est la variété de l'homologie dans un même plan (585), où les droites doubles (sauf l'axe) sont toutes parallèles ; on peut nommer rapport d'homologie de â^ à ^^, le nombre X, : Xj, et dire double la direction lO. Cette variété devient la symétrie des figures par rapport à l'axe ?6, quand elle est négative, que l'on a \ 1X2 = 1, et que la direction double (D est perpendiculaire à l'axe (413).

III. De là, et dès que l'on possède l'axe d-é et une seule paire Aj, A2 de points homologues (non doubles), des tracés très

HOMOLOGIE FLANE A OllOITES DOUBLES PAKALLKLES. 413

simples pour les homologues ■^]\..,, M.^ de toute droite or^,, de tout ])oint iM|, donnés dons une figure.

V Quand OÏL, p:issc par A,, parallèle à l'axe ou le rencontrant, en u. on obtient Hw, en nicnanl ])ar A.^ une droite parallèle à l'axe ou passant par u. (H).

2 Quand M, n'est pas sur la droite A,A.j, on trouve Mj en coupant l'homologue de A, M, (1") par une droite issue de M,, l)arallèlement à la direction double (D, savoir celle de AjA.^ évidemment.

3' Quand 'lu, ne conlienl pas A,, on cherche l'homologue B.2 de l'un quelconque de ses points B, pris en dehors de A|A., (2'^), et, avec cette i)aire HiB.„ on opère comme ci-dessus (1"^) avec A,, A.^.

4" Quand M, est sur A,Ao, on coupe cette droite par l'homologue 'JTu.2 d'une droite quelconque Olo, menée par M, (3°).

IV. Le rapport des longueurs de deux segments homologues M,N,, M.2N.2 est = 1 s'ils sont parallèles à l'axe, mais = a, : À^ s'ils sont sur une même parallèle à la direction double.

Dans le premier cas, ce sont des parallèles comprises entre les parallèles M, Mo, XjXj. Dans le second, en nommant T la trace sur l'axe, de la droite M,N,M.2Xo, et en sujîposant TM, <TX,, par exemple, les proportions TM, : TM., = À, :>,., = TN, : TX.^ donnent aussi (TXj — T.M,) : (TX., — TM.^) :=i ),, : }.,, c'est-à-dire M,X, : M.,X., = X, :/,.

V. Quand, dans une figure, deux segments M,X\, P,Q, sont parallèles, leurs homologues M.jXo, P.2Q.2 le sont aussi entre eux de la même manière, et. relativement aux longueurs, dans le même rapport numérique.

Si les droites M.,X;, P.2Q.2 se rencontraient en quelque point R.2, leurs homologues M,X,, P,Q, se couperaient en l'homologue R, de Ro, au lieu d'être parallèles.

Soient Mg, Xg, P,,, Qo, les traces sur l'axe, des droites doubles M,M.2, ... Entre les segments M, X,, P,Q,, la relation des directions et le rapport des longueurs sont les mêmes qu'entre leurs projections MqXq, P„Q,3 (145) faites sur J6 parallèlement à cD, et semblablement pour celles-ci comparées à M2X.2, P.2Q.2, ce qui achève évidenuncnt notre démonstration.

VI. Entre ^^, , r'^, il y a homotaxie ou antilaxie (218), selon que leur homologie est positive ou négative.

Evident pour deux angles ayant un côté commun sur l'axe d'homologie, le fait en question s'étend immédiatement et successivement : à deux triangles ayant un côté commun sur l'axe (217), à deux angles dont les côtés homologues se coupent sur l'axe, à deux triangles quelconques, puis à deux figures de toute autre nature.

VIT. Deux aires planes polygonales homologues sont entre elles dans le rapport d'homologie À, : X^.

S'il s'agit de deux triangles A,BiC,, A2B2C2 ayant leurs côtés A,B,, A2B2 parallèles à l'axe et leurs autres A,C,, AgC.^ sur une parallèle à la direction double, leurs angles en A^, A^ sont égaux à des angles jumeaux (182), et l'on a (304)

AjB.C, : A.B,C2 = (A,B, . A,C,) : (A,B.. AC.O ^Xj : A.,,

à cause de A^B^ = A^B.,, A,Ci : A2C2 = X^ : I.2 (IV).

Pour deux aires homologues quelconques, on raisonnera comme au n° 399, après avoir remarqué qu'elles sont divisibles, additivement ou soustractivement, en triangles de ce genre, seniblablement placés dans l'une et dans l'autre (VI).

VIII. En des points homologues M,, M2 de deux courbes, les tangentes sont homologues missi.

Soient /», un point infiniment voisin de Î\I, sur la première, m.2 son homologue, et y-^, u..^ les traces sur MiMj, des parallèles à l'axe, menées par m^, m.,. Les segments Wi/ïJi, ,"-iMi étant évidemment infiniment petits comme Mi/??!, leurs homologues (A.^/7?2 = [Ji-im,, uLgMa = (X2 : Xi) [J^iM, (IV) le sont aussi, puis, par suite, M^m.^ troisième côté du triangle M2!^2'"2 dont l'angle en u^ est constant (^224).

Cela posé, on raisonnera comme au n° 473, 111, à fort peu près.

IX. La proposition VII subsiste pour deux aires homologues limitées par des contours courbes quelconques. Raisonnement du n" 473, VII.

733. Nous appliquerons ces considérations à la transformation d'une ellipse ^L',, en choisissant l'axe d'homologie et la direction double respectivement parallèles à ses axes A,A'j = 2a,, B,B'i^2ti ifig. 212), en prenant même le premier identique à AjA', pour simplifier un peu la figure.

I. L'homologue de la courbe est en général une autre ellipse C.2, dont un axe A^^^ est identique à AjA'^ = 2a,, dont Vautre B2B'2 est sur la droite B,B'i, avec une longueur 2b.2 = 2&, (\ : Àj); mais elle est un cercle de rayon a^, si ion a pris X, : Àj = tj : a^.

En appelant M, un point quelconque de l'ellipse, P^ le pied de sa distance à l'axe AjA'^ et Mo, P» les points homologues, on a

(6) M,P, :(PAPiA',) = ^-:ai^ (727), (728, V),

avec

parce que ces segments homologues sont sur une même droite double (732, IV), et

P,A, = P.,A2, Pi A', = P2A'2, A, A', = A2A'2 = 2a„ parce que ceux-ci sont parallèles à l'axe d'homologie, et ces

AUT1U;S SOIATIONS DK PHOHI.KMRS SIH I.'ELr.lI'Sr:. 415

subslilulions failcs clans (6) coiuiiiisfiil iminétlialcincnl à

M,P, : (PoA, . l',A',) = ( /»,2 : «,-) : (À, : l,)^ ,

relation caractérisant bien I'elli|)S(> 0 ,, nienlioiinéc dans l'énoncé (727 , (728, V).

Le choix de /',:«, pour rapport «i'lu)niol()j>io, conduit à un cercle, parce qu'il réduit à 1 le second niendire de celte relation (505).

II. Construire par points l'cHipsc C^. Comme son homologue C^ est le cercle décrit sur A^A'j =2o, comme diamètre, quand on prend X, : X.2 = 6, : a,, il suffit de tracer ce cercle et de chercher les homologues M, de tous ses points M., (732, 111), (Cf. VI, inf.),

III. Trouver les intersections de V ellipse par une droite donnée ^,. On cherche l'homologue ^^ de celte sécante, ses intersections M„ N., avec le cercle, puis les homologues M,, N, de celles-ci 1732," III).

IV. Mener des lan<jentes à l'ellipse par un de ses points, par un point extérieur, parallèlement à une droite donnée. L'observation VIII du numéro cité assure l'efficacité des mêmes moyens.

V. L'aire [C^] de l'ellipse Cj apour mesure TM^b^. Car en nommant [«L'2] celle du cercle, on a [^L",] : [»L'.,J =X, : À.^ {Ibid. IX), avec [C,] = 7ra,2 (543, 2% et X, : X., = b, : «,

VI. Soient €.2, C^ (fig. 213) les cercles ayant pour diamètres les axes AiA'i, BiB', de l'ellipse, et M.,, M3 les points où ils sont coupés par deux demi-droites mobiles identiques ou opposées, issues de leur centre commun O ; l'intersection M, des droites menées par M.2, M3, parallèlement à B,B',, A, A', décrit l'ellipse. Car si Mg désigne le pied sur A, A',, de sa perpendiculaire M, M.2, la relation évidente M^M, : M^Mo = OM3 : OM^ = 61 : a, montre que M,, M, sont homologues dans une homologie d'axe A,A',, de direction double B,B'„ de rapport b^ : o, (732), (I).

VII. Par les mêmes moj'ens et avec un peu d'attention, le lecteur étendrait à l'ellipse beaucoup de propriétés du cercle : diamètres conjugués, pôle et polaire, etc.

734. La relation (1) et les considérations précédentes dont elle est la source, rapprochent extraordinairement le cercle, de l'ellipse et des autres coniques par celle-ci. Dépourvu de directrice, il jouit néanmoins des propriétés de l'ellipse, où l'immixtion de ces droites n'est pas directe, se comportant comme une courbe de ce genre dont l'excentricité e serait nulle, ayant ainsi deux foyers confondus en son centre (729), (730), une infinité d'axes et de sommets, etc. {Cf. 752, VII, inf.).

Hyperbole (e> 1).

735. La forme de l'hyperbole (725) cUtTère beaucoup de celle de l'ellipse, mais cela tient à des circonstances purement topographiques, et ses propriétés conservent le même fond. Nous n'aurons donc qu'à dire sommairement comment il faut, pour elle, modifier la théorie de l'ellipse.

I. A cause de e > 1, on a 1 : e <1, et il existe un angle aigu £ a5'ant 1 : e pour sinus (589), deux directions différentes faisant cet angle e avec la directrice. Nous désignerons par 'v, "a. ifig. 214) les traces sur la directrice (D, des perpendiculaires abaissées du fo3^er F sur ces deux directions, et nous appellerons asymptotes de l'hyperbole les parallèles menées par 'a, "a à ces mêmes directions respectivement, perpendiculairement par suite aux droites F 'oi, F "a. Il est évident que les asymptotes sont symétriques par rapport à l'axe focal FO comme les points 'a, "a, qu'elles se coupent en un point O situé sur cet axe, donnant FO > Ft) avec identité des directions de ces deux segments.

Les demi-asymptotes O 'a, O "a sont co/j/ié'.res au foyer F, et leurs opposées sont non connexes.

Un point, une droite issue de O, sont intérienrs ou extérieurs à Fangle des asymptotes quand ils sont placés ainsi relativement à l'angle 'aO "a, à son opposé au sommet tout aussi bien.

II. 1° Quand une sécante H' est extérieure à l'angle des asymptotes [c'est-à-dire quand il en est ainsi pour sa parallèle issue de O (I)], le lieu A du n" 719 est une circonférence à laquelle F est intérieur, et, si îl' coupe la courbe en M'^, M'.^, chacun de ses points est intérieur ou extérieur à celle-ci en même temps qu'au segment M'jM'j. Dans ce cas, on a elTeclivement J' < e, d'où esinJ'<esin£ <e (1 : e) < 1, et les mêmes conclusions qu'au m 726, I, II.

2° Quand une sécante 9" est intérieure au même angle, A est encore un cercle, mais auquel F est extérieur, J" intérieur, et, sur la sécante, la courbe découpe toujours un segment non nul M"|M"2 dont les points extérieurs ou intérieurs sont, au contraire, intérieurs on extérieurs à l'hyperbole. Tout ceci résulte de la combinaison des constatations faites au n" 718, avec l'inégalité e sin J" > e sin £> 1 qui a lieu actuellement.

3° Quand une sécante ^ est parallèle à une asymptote O 'a, A est la droite perpendiculaire à FJ en son milieu, et la sécante rencontre la courbe en un point unique M, ou ne l'atteint pas, selon que le point J n'est pas en 'a ou s'y trouve. Dans le premier cas, la demidroite JM est dans le demi-plan (OF ou dans son opposé, selon que la direction 'aJ est identique ou opposée ci 'a "a, et les points de 9' sont extérieurs ou intérieurs à l'hyperbole, selon qu'ils appartiennent Cl sa demi-droite MJ ou à son opposée.

DISCUSSION DE l'hypehbole. 417

Ici on a J = E, d'où c sin J = e sin î = c (1 : e)= 1, ce qui réduit le lieu A à la droite eu (|ucslion. Quand .1 est en 'or, la sécante coïncide avec ra.synij)l()le O 'y. perpendiculaire connue elle à la droite A; par suite, elle n'est |)as coupée par cette dernière. Autrement, les droites ')', A ne peuvent être parallèles, et le point M existe. Le surplus résulte facilement de la lin du iv 718.

III. Sur son axe focal, l'hijperbole a un second sommet A', limitant avec le sommet permanent A un segment A A' auquel F est extérieur, D intérieur, dont le milieu est précisément le point de concours O des asymptotes ; et les points de la courbe sont extérieurs à la bande limitée par ses tangentes A, A' en A, A', dans les demi-plans opposés à AA', A'A respectivement.

La première partie et la dernière s'établissent comme au n" 726, 111. 11 en résulte que l'hyperbole est une figure discontinue (290), aj'ant ainsi deux branches séparées par la bande AA': l'une connexe au foyer F est dans le demi-plan AF, l'autre non connexe dans le demi-plan opposé à À'F. En outre, on verra facilement, que, sur la droite qui joint deux points quelconques M,, M., de la courbe, les points intérieurs au segment M,, M.^, et les points extérieurs, possèdent, relativement à l'hyperbole, des qualifications telles ou contraires, selon que M|, Mo ai)parliennent ou non à une même branche (II).

Finalement, si o est le milieu de AA', on a Fo ^= (FA 4- FA') : 2, avec FA = enx : (e + 1), FA' = enx : (e — 1) {Cf. 727), d'où Fo^e-ni: (e- — 1). D'autre part, le triangle F 'aO, rectangle en 'a, et sa hauteur 'ad- donnent Ft^.FO=P"ct' (228) =(Ft> : cose)^, c'est-à-dire, et à cause de cos- £ = 1 — sin^ £ = (e" — l):e- (241, 1), nx.FO = e-nv- : (e- — 1); d'où Fo = FO, puis la coïncidence de o, O, les directions des segments Fo, FO étant évidemment identiques.

IV. Pour un point extérieur I, les tangentes présumées IT,, IT.2 du no 722 existent toujours, mais il peut en être autrement pour leurs points de contact M,, M.^.

Quand I est en O, sur les deux asymptotes à la fois, ces droites sont précisément les tangentes présumées, illusoires toutefois, parce que, sur chacune, le point de contact devrait être la trace d'une droite parallèle.

Quand il se trouve sur une seule, cette asymptote est encore une tcmgente illusoire, mais l'autre tangente présumée est effective, ayant son point de contact sur la branche connexe au foyer ou sur Vautre, selon que la demi-asymptote 01 est connexe ou non au même foyer.

Quand I n'est sur aucune asymptote, les deux tangentes présumées sont effectives, et leurs contacts M,, Mj, sont sur une même branche ou sur l'une et l'cnitre, selon que I est intérieur ou extérieur à V angle des asymptotes (I).

A cause de e > 1, et sauf le cas où I est sur la directrice, le

cercle 0 coupe toujours celle-ci en deux points distincts 9,, 0.^, traces aussi des parallèles menées par I aux deux asymptotes, et les diverses particularités énuniérécs dépendent des positions possibles pour ces points 6,, 6.2, relali\ement à 'a, "a ; mais nous devons supprimer tous autres détails.

V. Quand une direclion 0 est extérieure à l'angle des asymptotes (I), les tangentes parallèles existent, avec des points de contact toujours placés sur des branches différentes. Quand elle est celle d'une asymptote, ces tangentes parallèles se confondent avec cette asymptote, en étant illusoires. Ces mêmes tangentes disparaissent toutes deux, quand D est intérieure à l'angle des asymptotes.

Le cercle 6' du n^ 723 coupe toujours la droite FH' aux traces 0',, O'^ des parallèles aux asymptotes, issues de I', et tout dépend des positions de ces points relativement au foyer F sur la droite FH'.

VI. Chaque branche de l'hyperbole est une figure contiinie. On le déduirait de quelques-unes des constatations précédentes, mais c'est une conséquence presque évidente de ce qui suit.

736. Pour l hyperbole, le théorème du n' 727 subsiste, à cela près que le pied P {fig. 215) est extérieur au segment AA' des sommets de l'axe focal, sur la demi-droite opposée à AA' pour la branche connexe au foyer F, sur celle opposée à A'A pour l'autre branche, et que la relation (1) est remplacée par

(1) MP^ = (e-2-l)PA.PA'.

La démonstration se fait par les mêmes moyens. On en conclut que chaque branche de l'hyperbole est illimitée, car rien ne limite l'éloignement du point P dans les deux directions de l'axe focal, ni, par suite, la distance MP du point M à cet axe.

737. Nous ne ferons guère qu'énoncer les suites de cette proposition pour l'hyperbole, tant elles ressemblent à ce qui concerne l'ellipse (728 et suio.).

L L'hyperbole, la paire de ses asymptotes évidemment aussi, possèdent pour second axe de symétrie et pour centre par suite, une perpendiculaire à l'axe focal et son pied se confondant avec O, milieu de AA', point de concours des asymptotes (735, 1, 111). Comme au n'^ 728, I.

IL Les symétriques de F, cO par rapport ci ce second axe ou au centre O également, forment un nouvel assemblage F', CÔ', d'un foyer et d'une directrice connexes, relativement auxquels l'excentricité et le module de l'hyperbole sont encore e, xw (Ibid. II).

III. Le second axe BOB' ne rencontre pas l'hyperbole, parce que son pied O sur le premier est intérieur à la bande AA' (735, III), et on le dit non transverse par opposition au premier AOA' qui est transverse. Néanmoins, on marque sur lui les points B, B' qu'y

RAYONS VECTEURS d'UN POINT DE l'HYPERHOI.E. 419

traccniit le lieu du point M assiijelli à remplir la rondilioii (1), si elle comportait les positions de V à l'intérieur du segment AA', et, en même temps que la longueur réelle AA' de l'axe transverse, on considère le segment liB' connue longueur lictive de l'axe non transverse.

IV. Entre irt module de l'hyperbole, c son excentricité, a = OA :r OA', b = 0B = OB' demi longueurs de ses axes, c distance commune de ses foyers au centre O, m angle aigu de chaque asymptote avec l'axe transverse, on a les relations

(2) a=- -nx, c=- -nx = ea,

(3) b = \/e' — l a = \/c- — a- = —J-=-nx {Cf. 728, IV),

(4) tang oj = V e-^ - 1 = - (3).

Ces expressions de a, c, s'obtiennent en prenant la demi-différence et la demi somme des segments FA', FA calculés comme au n'' 735, III ; celle de b est la valeur du segment MP de la relation (1) quand on y place P en O, d'où PA=:^ PA' = a.

La seconde des formules (2) justifie encore le nom d'excentricité donné au nombre e =:c: a. D'après (3), a, b, c, sont encore les côtés d'un triangle rectangle, mais dont l'hypoténuse est ici c, non a comme dans l'ellipse.

Le triangle Ot^'a, rectangle en d, donne tang oj:=tangi>0'a = cot C^'aO = cot£, et, de sin£ = l:e (735, I), la formule (8)

du n" 241 conduit immédiatement à cot a = l/e'^ — 1.

V. En appelant x, y les distances d'un point quelconque M de l'hyperbole, à ses axes transverse et non transverse, on a

Comme au n^ 728, V.

738. Sur chacune des branches de l'hyperbole, la différence F'M — FM des rayons vecteurs allant à M, des foyers F' non connexe, F connexe, conserve une valeur constante qui est égale à l'axe transverse 2a.

Comme au n° 729 ; mais ici on a la différence des rayons au lieu de leur somme, parce que M, extérieur à la bande AA' des tangentes aux sommets 735, 111, l'est, à plus forte raison, à celle ®CD' des directrices, qui est intérieure à celle-ci.

739. La tangente en M est la bissectrice de l'angle même FMF' des rayons vecteurs. Comme au n'^ 730, à cela prés que les directions MT, MT' sont identiques, à cause de la situation constante de M à l'extérieur de la bande limitée par les directrices.

740. Les solutions des problèmes traités au no 731 sur l'ellipse subsistent presque textuellement pour l'hyperbole.

I. De la relation (3) on conclut c'^ ^ a- -{-b-, d'où la construction des foyers quand les axes 2a, 2b (ici quelconques) sont donnés en positions et en grandeurs.

Pour le tracé par points de la branche connexe à F, on donne aux raj^ons des cercles variables, de centres F et F', une longueur arbitraire r et /• + 2a (738). Une règle de longueur fixe quelconque /, pivotant autour de F' auquel serait fixée une de ses extrémités, pendant qu'un fil de longueur l —2a, attaché par ses deux bouts à l'autre extrémité de la règle et à F, guiderait le mouvement d'une pointe traçante appliquant sans cesse sur la règle une partie variable du fil maintenu en tension, fournirait pour la branche en question une description par un mouvement continu, mais extrêmement défectueux en pratique. Et de même, pour l'autre branche.

On trouvera ici

e = c:a = \^a^-^b':c, d = c — nx = a : e ^a'^ : c (737, IV).

II. Dans l'hyperbole, le cercle directeur d'un foyer F' a ce point pour centre, et l'axe transverse 2 a pour ra3'on; il jouit des mêmes propriétés que dans l'ellipse (731, II); seulement, l'autre foyer F lui est extérieur, à cause de 2c > 2a, son contact avec tout cercle [M] issu de F, avec un point M de la courbe pour centre, est extérieur, et ce point de contact F, symétrique de F par rapport à la tangente en M, rendant le segment MF égal à MF, lui donne la direction même de MF'. L'hyperbole esl encore le lieu des points équidislants d'un cercle [F'] et d'un point F qui lui est ici extérieur.

741. Le lecteur recommencera sans peine pour l'hyperbole, les raisonnements et constructions des alinéas 111 et suivants du numéro cité. Le théorème du n" 733, I s'étend de lui-même à l'hyperbole; mais ce genre d'homologie ne peut la rattacher à un cercle, et il perd ainsi l'intérêt pratique qu'il offre pour l'ellipse.

742. Mesurées parallèlement à des directions fixes quelconques, les distances d'un point de l'hyperbole à ses deux asymptotes donnent un produit constant.

Soient M un point de l'hyperbole, PM la demi-perpendiculaire à l'axe transverse, qui passe par M, et [^ sa trace sur l'asymptote qu'elle rencontre (ici O 'a), et M,, Uj les symétriques de M, [J- par rapport à l'axe transverse. Pour .t = OP, y=:PM, l'équation (5) conduit à

(6) PM = — (OP —a^).

PROPRIÉTÉS DKS ASYMPTOTES DE l'hYPERBOLE, 121

la considération du trian<4lc OI'p- rcclangle en P, à

P.a =:tang^w.OP = — OP (243;, (4;,

et la soustraction mcndjre à membre, à

ÏV' — Pm' = ( PuL — PM . I Pui -f PM ) = aM . a, M = ft- .

Or I/.M, {/., M sont les distances de M aux deux asymptotes, mesurées perpendiculairement à l'axe Iransverse, et cette constance de leur produit subsiste évidemment pour toutes autres directions données (256).

743. Deux conséquences de ce théorème méritent d'être notées.

I. Quand P s'éloigne indéfiniment^ il en est de même pour M pris dans le même demi-plan OF'a, PM et ui.,M > 2PM sont des quantités infinies comme PA, PA' à cause de (1), et la relation !xM.u-,M = 6- (742), d'où u-M = Z)"- : m-iÎM, montre que la distance o-M est infiniment petite, c'est-à-dire que M se rapproche indéfiniment de la droite 0 'a, sans jamais l'atteindre (441). De cette propriété, est venu en grec le nom d'asymptote donné à une pareille droite.

II. Le point de contact M d'une tangente se confond avec le milieu du segment 'a"a que les asymptotes découpent sur elle. Car si y[ différait de ce milieu, il différerait aussi de son sj-métrique m par rapport à ce point, et l'égalité 'am."am = '«M."oM placerait alors sur la courbe, le second point m distinct de M (742).

Pour construire la tangente en M, il suffit donc de faire passer par ce point une droite sur laquelle les as^-mptotes découpent un segment 'a "a dont il soit le milieu ; à cet effet, on cherchera sur l'asymptote O 'a par exemple, la trace a d'une parallèle menée par M à l'autre, on prendra a'a=^ aO dans la direction opposée, puis la droite M 'a.

Parabole (e = 1),

744. Les propriétés de la parabole (725) la rapprochent tantôt de l'ellipse, tantôt de l'hyperbole, mais surtout de la première, et font de son genre une sorte d'intermédiaire entre ces deux autres.

I. lo Quand une sécante ^' (fig. 216) n'est pas perpendiculaire à la directrice, les choses se passent comme pour l'ellipse (726, I, II), car on a e sin J' = 1 . sin J' < 1 (718, I)

2° Pour toute autre sécante y, le lieu A est la perpendiculaire

élevée sur le segmenl FJ en son milieu », el il coupe toujours î^ en un point unique M; les points de la demi-droite opposée o MJ 50/2/ intérieurs à la courbe, ceux de MJ lui sont extérieurs (Ibid., II). On a effectivement sin J ^ 1, d'où e sin J z= 1 ,1 1= 1 On retrouve les particularités se présentant dans l'hyperbole pour une sécante de direction asymptotique (735, II, 3"), à cela près qu'ici ces deux directions se confondent en une seule perpendiculaire à la directrice, et que les points 'a, "« n'existent plus, ni par suite les asymptotes elles-mêmes.

II. La courbe possède sur son axe focal un sommet unique A milieu du module FtV, et tous ses points sont dans le demi-plan AF ai](uit pour arête la tangente A au sommet. Comme aux n°^ 726, lil et 735, III.

III. Pour la construction des tangentes issues d'un point extérieur I, le cercle auxiliaire 0 du n" 722 est toujours tangent à la directrice à cause de e=:l, d'oîi IK,^e.IH = IH; mais, à cause de la disparition des points 'a, "a, /oiz/es /es par//cHto'/7és trouvées pour Vellipse (726, IV) se représentent.

IV. Parallèlement ci une direction donnée 3, on peut mener ci la parabole une tangente unique, ou aucune, selon quelle n'est pas, ou quelle est perpendiculaire à la directrice.

Dans le premier cas, et toujours à cause de e =: 1, le cercle auxiliaire (-)' du n° 723 touche la parallèle menée par F à la directrice, en un point H' distinct de F. Des deux tangentes issues de F à ce cercle, l'une FH' n'en donne point pour la parabole parce qu'elle est parallèle à la directrice, mais l'autre la coupe et fournit une tangente à la courbe.

Dans le second cas, le contact H' est en F, et les tangentes au cercle 0 issues de F se confondent en une seule qui est parallèle à la directrice, n'en donnant aucune pour la parabole.