PARABOLE

coniques (728 et siiiv.), (737 el siiuk); des analogies bien marquées subsistent cependant.

I. Aucune construction par points n'est plus simple que celle fournie par les sécantes auxiliaires parallèles à la directrice (720, I).

II. La tangente en M est la bissectrice de l'angle FMQ compris entre le rayon vecteur MF et la perpendiculaire MQ abaissée de M sur la directrice (Cf. 739). Car T étant la trace de la tangente sur la directrice, le triangle MFT, rectangle en F (721) comme MQT en Q, lui est égal à cause de l'hypoténuse commune MF et de FM : QM=:e= 1 ; d'où l'égalité des angles TMF, TMQ.

III. Le cercle (MJ décrit de .M comme centre avec MF pour rayon, touche la directrice au point F symétrique de F pcw rapport à la tangente en M (Cf. 731, 11, 740, 11).

A cause de FM:QM = e=l, la dislance de la directrice au centre du cercle [M] est égale à son rayon (512). Le pied Q de la distance QM se confond avec F, parce que la tangente en M est la bissectrice de l'angle au sommet du triangle isoscèle FMQ (II).

IV. Dans une parabole, la directrice joue ainsi le même rôle que le cercle directeur du foyer non connexe, dans une conique à centre, les rayons FF' de ce cercle dans une ellipse ou dans une hyperbole étant remplacés par les demi-droites FM ou par leurs oj)i)osées.

Cette remarque indique d'elle-même les modifications à faire aux constructions du n° 731, III-VI par exemple, quand il s'agit d'une parabole au lieu d'une ellipse.

L'observation du n'' 741 est applicable à la parabole.

747. Toutes les paraboles sont des courbes semblables, car leurs excentricités ont toutes la même valeur 1 (725 .

Sections planes diin cylindre, cVun cône circulaires.

748. Toute section plane d'un cylindre, d'un cône circulaires (660, IV), est un cercle encore, ou habituellement une courbe de l'un des trois genres que nous venons d'étudier.

I. Le cercle et la surface qui le contient, admettent évidemment pour plan de symétrie commun, celui que l'on peut mener perpendiculairement au plan du cercle, par la droite allant de son centre et, suivant les circonstances, soit parallèlement aux génératrices du cylindre, soit au sommet du cône. Cela posé, nous restreindrons notre démonstration au cas où le plan sécant est perpendiculaire aussi à ce plan de symétrie; nous prendrons ce plan pour celui de la figure, en y représentant le cercle par son diamètre eux' (fig. 217) situé dans le plan de sj-mètrie, contenant les projections orthogonales de tous ses points, la surface par

la région [P] du même plan, où tombent les projections de tous ses points M, région délimitée par les génératrices cl)--l),, c^lj'-.lg'j contenant a, a', le plan sécant par sa trace sur le même plan, contenant aussi les projections de tous ses points.

II. Pour un point quelconque M de la surface, et en appelant Pd, Pd' les dislances de sa projection P aux droites JlooJUj, eÂo'JU',, mesurées parallèlement à deux droites fixes arbitraires, et 6 quelque quantité constante, on a sans cesse

(1) MP^ = S.Prf.Prf'.

Le plan mené par iMP parallèlement à celui du cercle [aa'l, coupe la surface suivant un autre cercle (477, I), (488, I), (551) qui a pour projection un segment aPa' contenant P et parallèle à cia', d'où

(2) MP^=:Pa.Pa' (505).

Mais, en appelant 5, o' deux constantes dépendant des directions invariables des distances Pd, Pd', Pa, Pa', on a

Pa = o.Pd, Pa'^Ô'.Pd' (256),

et, en posant oo' = ©, la relation (2) conduit immédiatement à (11.

III. Quand il s'agit d'un cylindre, les droites c^lx^l), , A^'Â^'i (fig. 218) sont parallèles, et la région [P] est l'intérieur de la bande comprise entre elles, parce que les projections des génératrices sont leurs j^aralléles menées par les points intérieurs au segment act'. Les projections P des points M de la section faite par un plan de trace 'é'J', sont donc les points intérieurs aussi au segment A^A/ découpé sur cette droite par la bande. Si maintenant on prend les directions des distances Pd, Pd' parallèles à PA„ PA'^, la relation (1) devient

(3) MP' = e.PA,.PA'„

montrant que la section est une ellipse d'axe A^A'^ (727), ou bien un cercle de tel diamètre (505).

Cette dernière particularité exige que l'on ait S = o6':=l, c'est-à-dire PA,.PA', = MP" = Po.Pa' (2), ceci entraînant, soit l'identité de PA,, Pa, de PA',, Pa' c'est-à-dire le parallélisme de A,A', à aa', soit l'inscriptibilité du quadrilatère A.A'^^a'a, c'est-à-dire l'antiparallélisme par rapport aux côtés de la bande, de ^'J' à aa' (567), à sa parallèle a<x' par suite. Dans le premier cas, le plan de la section est parallèle à celui du cercle [aa.'], et donne naturellement un cercle homothétique. Dans le second, comme en a, a',, on a une autre direction de plans cycliques, dite antiparallèle à la première. Le quadrila-

SECTIONS PLANES d'uN CYL,, d'UN CÔNE CIHCLLAIHES. 425

tcre o,ci',a'ci étant inscriptiblc aussi, la sphère (Ictcriiiinéc par le cercle [cia-'] et le point a, (639j, ayant dès lors son centre dans le plan de la ligure, passe encore par ct',, trace sur le plan sécant le cercle [a,a.',], de diamètre a fa\T=c\a', recoupe ainsi le cylindre suivant la section considérée (660, lY).

IV. Quand il s'agit cfiin cône, les droites -.Ix^lo,, X'<^V, {fig. 219) se coupent au sommet S du cône, et, pour des raisons analogues à celles ci-dessus (III), la région 'P) se compose de l'ensemble des angles opposés au sommet -.laS-A', ^1>,S-jI)',, sous l'un desquels on voit, de S, le segment eux' . Ici, il y a trois cas à distinguer.

1'^ La droilc 'à'J' rencontre les deux demi-droites S~X, S-.l/ ellesmêmes, ou leurs opposées S-Ao,, S-A>',. Les projections P des points delà section tombent à l'intérieur d'un segment A^A'^, et on trouvera comme tout à l'heure (III), que cette courbe est, soit une ellipse d'axe A^A'e, soit un cercle, si son plan est parallèle à celui du cercle lulx'], ou bien antiparallèle, c'est-à-dire si A^A'^ l'est à aci' relativement à la paire des droites Jlsil),, rX,'^l,^'. Cette seconde section circulaire, cl.^Lx'^ par exemple, peut être encore obtenue en recoupant le cône par une certaine sphère issue du cercle [au'].

2'^ La droite 'é'J' rencontre en Ah une des demi-droites ci-dessus (1 "), en A'k l'opposée de l'cmlre. La projection de la section se compose des régions de cette droite qui sont extérieures au segment AuA'h, et on retrouvera la relation (3) de la même manière ; la courbe est donc une hyperbole cujant ce segment pour axe transoerse (736).

3'^ Elle rencontre en Ap la première des droites -A^lo,, -L'-L'^, étant parallèle à l'autre. La section se projette suivant une certaine demi-droite Ay.A'y,, et en donnant aux distances Pd, P'd' (II) la direction A'pAp et une autre quelconque, la relation générale 1,1) deviendra

Mp' = e . PAp.Prf' = e'.PAp,

à cause de l'invariabilité de la longueur Pd' (138, IV). La courbe est une parabole ayant Ap pour sommet, ApA'p pour axe (745).

4° La considération du plan [S] mené par le sommet du cône, parallèlement au plan sécant, procure immédiatement une manière très importante de spécifier les circonstances ci-dessus : on se trouve dans les cas 1°, 2°, 3", selon que ce plan coupe le cône au seul point S, suivant deux droites distinctes, ou qu'il lui est tangent par la confusion de ces droites.

Dans la relation (1) se présentant pour une section elliptique ou hyperbolique, la valeur de la constante S reste évidemment invariable quand le plan sécant se déplace parallèlement à luimême ; et, si le plan parallèle [S] coupe le cône suivant deux génératrices distinctes, elle est évidemment égale au carré

de la tangente des cingles égaux formés, soit par ces génératrices, soit par les asymptotes de l'hyperbole (737, IV), avec la trace ^'J' bissectrice de l'angle des unes comme des autres. Ce déplacement du plan sécant laisse donc les asymptotes de la section, parallèles aux génératrices considérées, se coupant en particulier sous un cmgle constant.

V. La conclusion de l'alinéa III est susceptible d'une autre forme à noter.

Sur tout plan non parallèle à celui d'un cercle, la projection de celui-ci est une ellipse [ou un cercle encore), quand la direction des projetantes est orthogonale à l'intersection de ces plans, en particulier perpendiculaire à l'un d'eux.

Pour des projections orthogonales, cette condition est toujours remplie, et on aperçoit immédiatement, que les axes de l'ellipse sont le diamètre du cercle et son produit par le cosiiuis de l'angle de son plan avec celui de projection.

749. Quand la surface est de révolution (cas où la confusion des deux directions de plans cycliques est évidente), la démonstration précédente n'im|)ose évidemment aucune condition à l'orientation du plan sécant ; en outre, le lecteur l'appliquera bien facilement à un cylindre, ou cône, passant par une conique quelconque avec laquelle il a un plan de symétrie commun, et coupé par un plan symétrique aussi par rapport à celui-ci.

Enfin, les propriétés des diamètres conjugués obliques des coniques, que nous avons dû omettre, permettraient une démonstration toute semblable, quelles que fussent les rapports mutuels de la surface, de la conique lui servant de directrice, et du plan sécant.

Ce théorème met à nu d'une autre manière, les liens étroits unissant entre eux le cercle et les autres coniques des trois genres, rapprochant même toutes ces courbes, des paires de droites et d'un simple point. A ce dernier propos, on remarquera qu'en supposant nul le module m., la définition générale du n'= 717 donne le simple foyer F, deux droites s'}- croisant, ou se confondant sur la directrice (0, selon que l'excentricité e est <1, > 1 ou =1, qu'en supposant nulle l'excentricité e, le lieu se réduit au foyer F.

Il rend intuitive la conception d'un cercle, d'une parabole, d'une paire de droites concourantes, . . . comme positions-limites d'une autre conique variable dont l'excentricité tend vers 0, vers 1, ou d'une hyperbole dont l'axe transverse tend vers 0, . . .

750. Le rôle des coniques est considérable dans la nature. Leurs variétés, surtout l'ellipse et la parabole, se rencontrent fatalement dans l'élude des mouvements excités par la gravitation universelle, comme ceux des astres (lois de Kepler), de nos projectiles (Balistique). Autour de leurs positions d'équilibre, les mouvements simples des molécules d'un corps élastique en