COMPARAISON DES SEGMENTS RECTILIGNES

Définitions et premières propositions.

122. Deux points distincts quelconques A, B (fig. 15) étant pris sur une dro'te, les demi-droites de directions opposées AB et BA ont une région commune [continue et limitée (Chap. VIII, inf.)], dont les points constituent l'intérieur du segment rectiligne

AB, (Vextrémités AB. Les deux autres régions de la droite, encore continues, mais illimitées, qui sont communes, l'une à la demidroite AB et à l'opposée de BA, l'autre à BA et à l'opposée de AB, constituent l'extérieur du même segment, et se nomment aussi ses prolongements au delà, l'un de B, l'autre de A.

Il y a équivalence évidente entre cette définition des points intérieurs ou extérieurs au segment considéré, et celle consistant à dire que, pour un point intérieur I, les directions IX, IB {et tout aussi bien AI, BI) sont opposées, que, pour un point extérieur Ej (ou Eg), les directions E,A, E|B, ainsi que AE,, BE,, {ou EgA, Eç^B, 'ainsi que AE2, BE,) sont identiques.

Quand les points A, B coïncident, il n'y a plus de segment à proprement parler, puisque les demi-droites à considérer pour le définir ne peuvent plus être distinguées; toutefois il y a souvent commodité à dire, au figuré, que ces points sont les extrémités (confondues) d'un segment nul.

123. Trois points distincts A, B, C, placés sur une même droite, sont, l'un intérieur, et deux extérieurs aux segments ayant respectivement pour extrémités les trois paires des deux autres.

Si, par exemple, C est intérieur au segment AB, les directions AC, BC seront opposées ; la direction CB, opposée à celle-ci, est donc identique à AC, et aussi à AB, identique à cette dernière; d'où pour le point B, la propriété d'être extérieur à

AC, et de même pour A, relativement au segment BC. De même encore, si l'un était parti d'un point extérieur au segment déterminé par les deux autres.

124. Si deux segments rectilignes AB, A'B' (122) sont égaux, c'est-à-dire s'il est possible d'appliquer leurs droites l'une sur l'autre, de telle sorte que les extrémités A, B, du premier, coïncident respectivement avec A', B' (23, IV), ils sont encore égaux

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d'une seconde manière (6), consistant en ce que l'application de leurs droites peut être recommencée, de façon que ce soit maintenant B qui coïncide avec A', et A avec B'. Cette seconde manière se confondrait, toutefois, avec la première, s'il s'agissait de segments nuls. (Cf. 132, inf.)

125. Des segments, en nombre quelconque, étant donnés, on peut toujours, et cela dans un ordre arbitraire, les juxtaposer extérieurement sur une même droite, c'est-à-dire les y placer de telle sorte que les points intérieurs à chacun d'eux soient extérieurs à tous les autres, et que deux consécutifs quelconques aient une extrémité commune (23, IV). L'extrémité libre du premier segment et celle du dernier (celles qui n'appartiennent en même temps à aucun autre segment) découpent alors un nouveau segment auquel sont égaux tous ceux du même genre, que pourrait donner la même opération recommencée d'une autre manière.

Ce segment résultant, toujours égal à lui-même, quelque soit l'ordre de succession imposé aux proposés, se nomme leur somme (géométrique). Par exemple, le segment AH (fig. 16) est la somme des segments AB, CD, EF, GH.

126. On peut toujours juxtaposer deux segments sur une même droite, intérieurement, tellement c'est-à-dire, que tous les points de quelqu'un d'entre eux soient intérieurs à l'autre (23, IV). Quand ils sont inégaux, ce second segment est alors la somme du premier et d'un troisième, toujours égal à lui-même, de quelque manière que l'opération ait été recommencée, et on le nomme l'excès (géométrique) du second sur le premier, plus souvent leur différence (géométrique).

Le second segment est dit plus grand que le premier, celui-ci plus petit que le second.

Dans la fig. 16, par exemple, le segment AE est plus grand que AB, et CD est leur différence.

Quand les segments donnés sont égaux, leur différence est nulle.

127. Un segment quelconque étant donné, et quel que soit le nombre entier n, on peut toujours trouver sa n'*"" partie, c'est-à-dire construire un nouveau segment tel, que la somme de n segments égaux à lui reproduise le proposé. (Cf. 158, inf.)

Pour un même segment, cette n' ""■ partie est toujours égale à elle-même, de quelque manière que l'opération ait pu être exécutée.

Elle diminue quand n augmente, et on peut toujours prendre ce nombre assez grand pour la rendre plus petite qu'un segment choisi à volonté.