ADDITION V

NOTIONS SUR l'hélice.

751. r lient A>, Og (fig. 220) une droite et l'un de ses points, tous deux fixes, O^Mq un segment fixe encore, de longueur r donnée non nulle, issu de 0„ perpendiculairement à -À-, puis v et 3( un segment et un dièdre (saillant ou composé) tous deux non nuls et donnés, l'un sur la même droite, l'autre autour d'elle comme arête, dans des sens (rectiligne et giratoire) déterminés. Sur -A à partir de On, autour de ^l, à partir du demi-plan fixe -IMq, portons un segment n, un dièdre a (saillant ou composé), toi*s deux indéterminés sauf la condition de rester proportionnels « V, a en grandeurs et en directions, ceci voulant dire que, simultanément, ils sont toujours dirigés dans leurs sens ou dans les opposés, et qu'entre leurs amplitudes on a la proportion

428 NOTIONS SUR l'hélice.

coupons ensuite l'un par l'autre, le plan perpendiculaire à a%> en O seconde extrémité du segment n, et la seconde face du dièdre a; sur la demi-droite ainsi obtenue, et à partir de son origine O, portons enfin une longueur OM toujours =r. Le point M, extrémité de ce segment, a pour lieu une ligne nommée hélice et contenant Mg, dont la droite fixe 'A, et la constante /■ sont Vàme et le rayon.

Provisoirement, nous appellerons niveau, azimnlh, d'un po|nt quelconque M de la ligne, les grandeurs n ^ OqO, a =: Mq-.1)M dirigées toutes deux, qui le déterminent sous la proportion (1). et la condition topographique annexe ; nous nommerons encore origine de l'hélice, son premier point donné M^ dont le niveau et l'azimuth sont tous deux = 0.

752. Plusieurs conséquences se rattachent directement à cette définition.

I. L'écart en hauteur [M'M"]„ de deux points quelconques M', M" de l'hélice, conçus dans cet ordre, est le segment O'O" de l'âme, allant de 0' à O", pieds des plans perpendiculaires abaissés de ces points, et ayant avec leurs niveaux n', n" les relations suivantes : n', n" étant d'un même sens et inégaux, si n' < n", l'écart est de longueur n" — n' et du sens de tous deux, si n' est > n", il est de longueur n' — n" mais de sens opposé, si n' = n", il est nul ; n', n" étant de sens contraire, l'écart est n' + "", avec le sens de n".

L'écart angulaire ^M'M"J„ des mêmes points, est celui des dièdres (saillants et composés) allant du premier des demi-plans rÂoM', XM" au second, dont l'amplitude et la direction se rattachent aux azimuths a', a" de M', M" comme leur écart en hauteur à leurs niveaux n', n", tout à l'heure.

Cela posé, ces deux écarts sont toujours proportionnels aux constantes a, v, en directions comme en grandeurs.

Pour fixer les idées, supposons n' < n" et de même sens que V ; la condition topographique assigne à a', a" des directions identiques encore à celle de a, et la condition numérique (1) donnant

d'où n' : n" = a' : a", montre que l'on a aussi a' <a". En vertu de leur définition, ces écarts ont donc les sens de n", a" c'est-à-dire ceux de a, V, et, entre leurs amplitudes n" — n', a" — a' on a bien la proportion (n" — n') : v ^ {a" — a') : a, conséquence immédiate des deux dernières. Raisonnement analogue dans tous les autres cas.

II. Une observation capitale résultant de la précédente, est que rhélice admet pour origine aussi bien que M,,, tout autre point fixe

CYLIN'DRK, PAS, PIÎNTF-: o'UN'E HÉLICi;. 429

}iV'^^ pris sur elle, ràiiw -l. el les constanles v, a i-eslanl les mêmes. Il est évident, en effet, ([u'on retrouvera un point (luelconque M (le la ligne, en le construisant sur ces nouvelles données, avec un autre niveau, un autre aziniutli, égaux respectivement en grandeurs et directions aux deux écarts de M"" à M.

III. L'hélice est située tout entière sur le eijliiutre de révolution de mime rayon r, qui a son âme ^l. pour axe (626, II), car cette surface est le lieu évident des points dont la distance à la droite tl)est=:r. Il importe de concevoir toujours l'hélice sur son cylindre, surface la plus simple ([ui puisse la contenir.

IV. Sur les parallèles du cylindre de l'hélice, l'écart angulaire de deux points M', M" (1) interce[)lc des arcs dirigés (saillants ou composés) (535) (jui, tous évitlenmient, sont superposables par des translations parallèles à l'àme, et dont l'un deux quelconque m' m", que nous noterons [M'iM"Jc est Vécart circulaire de ces deux points. Si maintenant on représente par &i l'écart en hauteur (01 : a)v (I) de deux points de l'hélice dont l'écart angulaire est d'amplitude égale à l'angle replet 0Î, leur écart circulaire sera la circonférence d'un parallèle, convenablement dirigée, dont la longueur est 27:/' (539), et on aura toujours, en directions comme en grandeurs, les proportions.

Les deux premiers rapports sont égaux pour avoir leurs dénominateurs proportionnels à a, v comme leurs numérateurs (I); les deux derniers le sont, parce que, sur un même parallèle, deux arcs dirigés sont dans le même rapport numérique et topographique, que les dièdres à l'àme qui les interceptent (194), (536). La constante ci, qui est très importante à considérer (VI, in/.), se nomme le pas de l'hélice.

L'égalité des deux membres extrêmes donne iM'M"],, : ;M'M"j^ = {i:2T:r, et la valeur de la première fraction est évidemment le rapport en longueurs des chemins O'O", m'm" parcourus simultanément sur l'àme et sur le plan d'un parallèle fixe du cylindre, par les projections orthogonales O, m d'un point mobile M de l'hélice, dont la première O décrit le segment O'O" dans un sens constant {Cf. 763, inf.). Ce rapport conserve donc la valeur invariable p = 6i-: 27r/-. Le nombre p est la pente de l'hélice, et joue un grand rôle dans les applications mécaniques.

V. Chaque parallèle du cylindre coupe l'hélice en un point unique.

Si O est le pied du plan de ce parallèle sur l'âme -i qui lui est perpendiculaire, le point de l'hélice, dont le niveau n est le segment dirigé 0,|0, dont l'azimuth a la valeur (n : v) a déterminée par la proportion (1) (avec une direction convenable).

430 NOTIONS SUR l'hélice.

appartient à ce parallèle ; mais aucun autre n'est dans ce cas, parce que son niveau diffère évidemment de 0„0.

VI. Chaque génératrice du cylindre coupe l'hélice en une infinité de points distincts, dont deux voisins sont séparés peu- une distance toujours égcde au pas a (IV).

La génératrice passant par Mq {fig. 221) contient évidemment les points de l'hélice dont les azimuths sont 0, puis ^, 231, 301, ..., A-yl, ... dans le sens de a, puis les mêmes angles dans le sens contraire, avec des niveaux correspondants déterminés respectivement par la proportion (1), savoir 0, puis {"Si : a) v, (291 : a) V, ... dans le sens de v, puis les mêmes segments dans le sens contraire ; mais aucun autre point ne peut s'y trouver, parce que son azimuth non égal à un multiple entier de l'angle replet 01, le place sur un demi-plan d'arête X auquel cette génératrice n'est que parallèle ; et la distance de chacun de ces points aux deux les plus voisins, a bien la valeur (01 : a) v = g}.

Pour toute autre génératrice, soient G un quelconque de ses points, a un dièdre dirigé allant du demi-plan XMq à -.1>G; sur elle, l'hélice possède le point ÏNI de niveau (a : a) v convenablement dirigé, d'azimuth a ; les choses s'y passent ensuite comme à l'instant, puisque M peut être pris tout aussi bien pour origine de l'hélice (II).

VII. Uhélice admet pour axes de symétrie (421), les perpendiculaires menées de ses divers points à son âme, c est-à-dire évidemment, les normales à son cylindre, dont les pieds sont sur elle (629).

En d'autres termes, tous ses points sont des sommets, comme ceux d'un cercle ou d'une droite (720, II).

Considérons d'abord la droite M|,0,) (fig. 222), qui est une de ces perpendiculaires, et un point quelconque M, de l'iiélice, avec son symétrique JM., par rapport à cette droite. Dans cette symétrie, la droite X, perpendiculaire à l'axe OqM,,, est double, ainsi que le plan .-.IsMo passant par elle et l'axe (414). En conséquence, les distances des points homologues M,, M^ à X sont égales entre elles et à r, leurs pieds OjOj sont homologues, les demiplans al)M,, (JI9M2 le sont également, d'où l'égalité, mais avec opposition, du segment OgO, à OqO-i, du dièdre M„-AM,, azimulh de M,, à Mo-XMa l'un des dièdres ayant X'Mq, A>jM.^ pour faces. Les grandeurs OoM.^, O0O2, Mo'A>M2 satisfont donc comme OiMj, OqO,, MoXMi, aux conditions numériques et topographiques de la définition de l'hélice, et le point M.,, qu'elles déterminent évidemment, est situé sur la ligne, comme M^ dont il est le symétrique.

Toute autre perpendiculaire de ce genre, MO, jouit de la même propriété, parce qu'il est permis de prendre M pour origine de l'hélice (II).

VIII. L'hélice est une ligne illimitée continue, gauche et courbe.

RÉAPPLICATIONS d'uNE HÉLICE SUR ELLE-MÊME. 431

1° Elle est illimitée, parce qu'elle a toujours un point sur un plan perpendiculaire à son âme, quelque éloigné qu'il soit (Vj.

2' Soient M, .M' i/ù/. 223) deux points de l'hélice dont l'écart en hauteur h est inférieur à tii : 4, dont l'écart angulaire que nous représenterons par 2oj est, par suite, inférieur à ^i : 4 (IV), c'est-à-dire aigu, puis O la projection de M sur l'âme, m' le pied sur le parallèle du cylindre passant par M, de la génératrice menée par M', et a le milieu du segment Mm'.

Comme au no 498, III, le triangle isoscéle MO/n' donne Mm' =^ 2/"sin t,j

Le triangle Mm'M' rectangle en m' donne ensuite

MM'" = Mm'" -r m'W = 4r"- sin^oj -f /j- .

Or, on peut attribuer à h une valeur ■/) assez petite pour que le second membre soit inférieur au carré o' d'une quantité o de petitesse arbitraire, jiour avoir en conséquence MM' < o. Effectivement, quand h tend vers zéro, il en est de même pour (o, à cause delà proportion 2 o) : tR =z /j : ^j (IV), pour sin co par suite (443 bis). Deux points quelconques M '^', M" étant donc pris sur l'hélice, il suffira de prendre leurs projections Oi"', O '' sur l'àme, de diviser le segment O^'O"' en parties <r, , par les points consécutifs O^"', 0(", ..., O''-'', Oi'', de prendre les points correspondants sur l'hélice, pour réunir sur elle M^'^', M"', par une ligne brisée Mi°'M(*' . . . Mi'-*'M^') dont tous les côtés sont < ô.

3" Si quelque région de l'hélice était plane, il est évident que tout axe de S3métrie passant par un point de cette région (VII) serait situé dans son plan, ou perpendiculaire sur lui. Or il est visible au contraire, que trois axes seulement, issus de points distincts dont deux quelconques ont un écart angulaire inférieur à l'angle neutre, ne sont jamais disposés ainsi. A plus forte raison, aucune région ne peut être rectiligne.

4» L'hélice est une courbe transcendante (724). Car tout plan passant par son âme, trace sur son cylindre deux génératrices dont ctiacune la coupe en dos points distincts en nomljre illimité (VI). Or ceci ne peut avoir lieu pour une ligne algébrique.

IX. Soient Jô, fi deux exemplaires de l'hélice dédoublée par la pensée, le premier fixe, l'antre mobile et d'abord confondu avec l'autre, puis - une translation parallèle à l'àme, p une rotation autour de cette droite, prises, en grandeurs- et directions, proportionnelles à V, a, à ai, tFi tout aussi bien (IV).

Ces deux déplacements subis dans un ordre de succession quelconque, réappliquent toujours II sur à(>, et on peut les choisir dans ces conditions relatives, de manière à amener un point quelconque nx de l'hélice mobile, sur un point quelconque Olo de l'hélice fixe {Cf 761, inf).

Il est évident que tout point nv de la première vient au point

432 NOTIONS SUR l'hélice.

Ofu de la seconde, avec lequel ses écarts sont t, p respectivement, qu'inversement, si ni, Olo sont donnés, on amènera le premier sur le second en prenant pour t, p les écarts de nv à 011/.

X. L'hélice se réappliqiie encore sur elle-même, soil par une translation parallèle à l'àme, d'amplitude égale à un multiple entier ka de son pas, soit par une rotation autour de l'àme, d'amplitude égale à un multiple entier A- 01 de l'angle replet, toutes deux de sens quelconques, mais par aucun déplacement simple de l'u.i ou l'autre genre, dont l'amplitude n'aurait pas une relation de cette sorte avec rà ou fll.

Une telle translation laisse effectivement toute génératrice du cylindre appliquée sur elle-même, transporte chacun des points de l'hélice lui appartenant, en celui qui en est éloigné de k rangs dans le sens du mouvement (VI). Si son amplitude n'est pas de cette forme, la réapplication ne se produit pas parce que ci est le moindre espacement des points en question. Le pas d'une hélice est ainsi la moindre amplitude des translations parallèles à l'âme, qui puissent rèappliquer la courbe sur elle-même.

Une rotation réapplique toute figure sur elle-même, quand son amplitude est de la forme AéPi (199), mais non l'hélice si elle a une autre valeur, parce qu'un plan perpendiculaire à l'àme coupe la courbe en un seul point (V).

753. Tous les points de l'hélice sont ordinaires (449), et en chacun d'eux M, sa tangente se construit comme nous allons l'expliquer.

I. En nommant O {fig. 223) la projection de ce point sur l'àme, MG une même demi-génératrice du cylindre, issue de M, et M' un autre point quelconque de l'hélice, dont l'écart en hauteur avec M, [MM'],j == 00', est directement parallèle à MG, avec une amplitude <c5 : 2, l'écart angulaire [MM']„ des mêmes points conserve un même sens avec une amplitude < 31 : 2 l'angle neutre (752, IV), et ces points M' sont placés ainsi dans un même demi-espace de plancher OMG; tous les trièdres MOGM' sont donc homotaxiques les uns aux autres (348). En outre, ils le sont encore à tous ceux analogues ayant pour sommets les divers points de l'hélice, à cause de la possibilité de sa réapplication indéfinie sur elle-même (752, IX), et de sa S3'métrie par rapport à toutes les droites telles que MO [Ibid. VII).

Cela étant, nous nommerons allure de l'hélice, un de ces trièdres, 0, choisi à volonté.

II. La tangente à l'hélice est située dans le plan tangent en M à son cylindre, faisant avec la génératrice, avec l'àme par suite, l'angle aigu invariable l dont la cotangente est p (589 bis) , en cuire, les demi-droites MO, MG demi-génératrice quelconque issue de M, et MT demi-tangente faisant cet angle avec MG, forment un trièdre MOGT qui est homotaxique à l'allure Ô (I).