TANGENTE

1" L'exactitude de la première affirmation est évidente, puisque l'hélice est une ligne tracée par M sur son cylindre f461).

2'^ Quand an angle aigu variable b, a pour limite un angle B aigu aussi, ses rapports trigononu'lrirjiws tendent vers ceux de B, respectivement ; et réciproquement.

On s'en assurera en construisant un triangle fixe ABC rectangle en A, dont l'angle aigu B est égal à la limite considérée, en coupant son côté AC en c par une demi-droite variable Bc faisant l'angle b avec BA, puis en ai)pliquant à toute la figure les considérations générales du n" 446. I.

3" Sur un cercle fixe, le rapport variable d'un arc infiniment petit [ab] à sa corde ab, a pour limite 1.

Dans un état de l'arc ifig. 224) où il est devenu inférieur à la demi-circonférence, soient o son centre,/ son milieu, a/? sa corde, mn un côté d'une ligne brisée variable ayant sa longueur pour limite, V l'angle aigu qu'il forme avec ab, m'n' sa projection sur la corde, et u le milieu de l'arc [mn\, tracé sur lui par la bissectrice de l'angle mon (536) perpendiculaire à mn. L'angle iou est aigu comme V, parce que u appartient à l'arc [mn] intérieur à [ab], et qu'ainsi ce point est intérieur à l'une des moitiés, [ia\ ou [ib], de l'arc \(d}] inférieur à une demi-circonférence; pour la même raison, il est inférieur à ioa; en outre, il est égal à V comme étant aigu aussi, avec des côtés perpendiculaires aux siens (190) ; il en résulte cos V ^cos iou > cos ioa (241, VI).

Cela posé, on a mn = m'n' : cos V < m'n' : cos ioa, par ce qui précède ; pour la longueur de la ligne brisée, on a donc "^mn <(i;m'/ï') : cos ioa < ab : cos ioa, puis en passant à la limite [ab] < ab : cos ioa. A cause de [ab] > ab (459), on a en résumé

1 < [ab] : ab <1 : cos ioa ,

et par suite lim j[a&j:a6| — 1, puisque l'angle au centre ioa étant infiniment petit comme l'arc [ab] dont il intercepte la moitié, son cosinus a 1 pour limite.

4« Soient maintenant M' (fig. 223) un point mobile de l'hélice, dont l'écart en hauteur avec iM est infiniment petit en demeurant directement parallèle à MG, et m' sa projection sur le parallèle de M. Dans le triangle Mm'M' rectangle en m', on a

col GMM = tang m MM = =

M/n' arc M/;j' Mm'

arc Mm' = p ^^^^^, (240), (752. IV),

puis, en passant à la limite et en appelant MT la demi-tangente qui est la position-limite de MM' (456),

(3) cot L = cot GMT = p- (2°),

à cause de lim | [Mm'] ] : Mm' j = 1 (3°).

434 NOTIONS SUR l'hélice.

5" La demi-tangente MT ne peut se trouver dans le plan méridien OMG du cylindre, puisqu'elle est dans le plan tangent perpendiculaire à celui-ci (628), et fait avec kur intersection MG, l'angle aigu de cotangente p. Le trièdre MOGT est donc déchcvètré, et il est homotaxique à 0, comme position-limite de MOGM' qui ne cesse de l'être (I).

L'invariabilité du trièdre MOGT aurait pu être prévue d'après les conditions dans lesquelles l'hélice se réapplique indéfiniment sur elle-même et ses diverses symétries (752, IX, VII).

6'' Au lieu de l'angle L donné par la formule (3), on considère plus volontiers dans les applications mécaniques, son complément 3 =90° — L, angle delà tangente à l'hélice avec tout plan perpendiculaire à son âme (331, I). Cet angle 0, ayant ainsi p = ej:2TCr pour tangente, est Vinclinaison de l'hélice; à l'autre l, on pourrait donner le nom de coiiiclinaison.

754. Les problèmes suivants se posent dans certaines questions de Mécanique.

I. Mener à l'hélice une tangente parallèle à une droite donnée CO {/îg. 225) faisant avec F âme un angle aigu égal à sa coinclinaison l.

Parallèlement à cD, on peut mener au cylindre de l'hélice deux plans tangents distincts (483, V), (517), et leurs génératrices de contact, qui sont parallèles, coupent la courbe en deux séries illimitées de points distincts, . . ., M', ... et . . ., M", . . . (752, VI). Soient ensuite M', M" deux de ces points pris à volonté dans des séries différentes, puis O', O" leurs projections sur l'àme, puis M'G', M"G" deux demi-génératrices issues d'eux en parallélisme quelconque, et M'T', M"T" des demi-droites menées de M', M" parallèlement à cO, de manière à faire l'angle aigu l avec M'G', M"G". Les trièdres AFO'G'T', ÂF0"G"T" ayant leurs arêtes parallèles, 1 ou 3 fois inversement, sont inversement égaux (358), et un seul d'entre eux peut être homotaxique à l'allure de la courbe (753, II). Si c'est le premier, M'T' et les tangentes en tous les points de la série contenant M' sont celles que l'on demandait, les seules visiblement.

Le problème serait impossible, si l'angle aigu de X, (ô n'était pas égal à L.

IL Mener ù l'hélice une tangente parallèle à un plan donné 'J.\

Les droites issues d'un même point S de l'espace, parallèlement aux tangentes à l'hélice, font l'angle aigu l avec la parallèle à cAa, issue de S, ayant ainsi pour lieu le cône de révolution de sommet S, qui a cette parallèle pour axe, avec l pour angle au sommet (626, III). On coupera ce cône par le plan issu de son sommet parallèlement à ^)^, et chaque droite lO se trouvant dans cette intersection fournira comme ci-dessus (I) une génératrice du cylindre de l'hélice, traçant sur elle les points de contact d'une infinité de tangentes parallèles à cO, à 9.^ par suite.