PLAN OSCULATEUR. — MESURE DES ARCS

On verra facilement que le nombre des droites lO est 2, 1, 0, selon que l'angle de *i* avec -l, (331, I) est <, = ou > l, et qu'il n'y a pas d'autres solutions. Quand le plan ^ est parallèle à l'àme, les deux séries de tangentes existent toujours, et la bande limitée par les génératrices qui contiennent leurs |)()ints de contacts, a l'àme pour bissectrice.

755. Le plan osciihilcur à i hélice en M, est détermine jMir la tangente MT (452) et le rayon MO.

La courbe étant symétrique par rapport à MO (752, VII), l'homologue du plan osculateur dans cette symétrie serait un deuxième plan de ce genre, distinct du premier, si celui-ci ne passait pas par cet axe ; or le plan osculateur est essentiellement unique.

Les rayons MO de l'hélice sont donc ses normales principales (453).

L'angle du plan osculateur et de l'àme est égal à la coinclinaison i. Les arêtes MG, MT du trièdre yiOGT (fig. 223) étant perpendiculaires à MO, leur plan l'est aussi au plan osculateur OMT passant par MO, sur lequel MT est ainsi la projection de MG ; GMT = L est donc l'angle en question, dont l'invariabilité était évidente a priori (Cf. 753, II, 5").

Si m', m' sont les traces de la génératrice d'un autre point M', sur le parallèle de M et sur le plan osculateur en M, on pourra constater l'identité constante des sens des segments m'M, m'm", puis l'inégalité m'M > mm', en considérant que l'arc circulaire [Mni'J surpasse toujours sa corde .Mm' (459) et, à plus forte raison, la distance de m' à O.M. Le plan oscidatenr divise donc l'hélice en deux régions illimitées, situées départ et d'autre de lui ; en particulier, il traverse la courbe en son point de contact.

756. L'hélice n'ayant aucune tangente parallèle à un plan dont l'angle avec l'àme est > l (754, II), un quelconque MN de ses arcs est réduit (455), et ses points sont entre eux dans les mêmes relations topographiques, que ceux de l'àme, où ils se projettent orthogonalement sur le segment PQ limité par les projections de ses extrémités.

En représentant toujours par [MX],j, [MNJ^ les écarts en hauteur et circulaire des points M, N (752, IV), la longueur de cet arc est fournie par l'une ou l'autre des formules

(4) MX = ^-^ = rMN]„ -^ = [MN], v/1 + p^ .

COS L " p

En appelant indéfiniment mn, i et pq, les côtés infiniment petits d'une ligne brisée dont la longueur tend vers celle de

NOTIONS SUR LHELTCE.

l'arc (458), leurs angles aigus avec l'âme et leurs projections sur cette droite, on a

MN = lim Z mil = lim ï

pq.

et, en raisonnant comme au n' 753, 11, 4°, on trouvera d'abord lim cot z^p, d'où lim / = L, puis lim cos / = cos L ilbid. 2°), et lim (1 : cos /)=:!: cos L (440, IV). On a, d'autre part, 'Zpq^^VQ =:[MN]„, égalité entraînant la première des relations (4) par sa combinaison avec un Icmme antérieur (542, II. De là, on passe à la seconde immédiatement (241, II, 4'^), puis à la troisième par l'intervention des proportions fondamentales (2).

Quand les points M, N sont de moindre distance mutuelle sur une génératrice du cylindre, c'est-à-dire quand leurs écarts en hauteur, angulaire et circulaire, sont rf, yl, 2-r (752, VI, IV), l'arc MN se nomme une spire de l'hélice. Toutes les spires sont des figures égales {Ibid. X), et les formules (4) donnent immédiatement leur longueur commune.

757. Sur le développement de son cylindre (684), l'hélice est représentée par une droite faisant les angles aiyas l, J avec les représentations des génératrices et des sections droites.

Soient Mq (fig. 226» quelque point de l'hélice pris pour origine, M.^C le parallèle du cylindre passant par M,„ puis Mj, M deux autres points quelconques de la courbe, le premier fixe, l'autre indéterminé, /n,]M,, mM leurs niveaux. M,,/??,, ^l^m, les arcs interceptés par leurs azimuths sur le cercle M|,C; soient encore, dans le développement du cylindre, M'^, M'qC', M',, M' les représentations de Mq, M|,C, ]\1i, m, puis m', M',, m'M' les distances de M',, M' à la droite M'„G', et M'„/n',, M'^m', les segments allant sur M'qC, de M',, à m',, m' pieds de ces distances.

D'après la nature de l'hélice, on a, en directions comme en grandeurs, la proportion

Monij