IV

et, d'après la définition du développement d'un cylindre, on a, en grandeurs, les égalités m'M'^/jîM, M'^m'^M^m, m',M'j=:m,M,, M'o/ïî'j ;= M^m, , avec identité ou opposition entre les directions de m'W, /n'^M'i en même temps qu'entre celles de mM, nj^M,, et entre celles de M',,/?}', M'om',, en même temps qu'entre celles de M^m, Mon7i. On a donc aussi, en directions comme en grandeurs, la proportion

m'W /72'iM'i M\m'~M'am\'

IlKLICKS KGALES, SKMBLABLES. 437

en vertu de laquelle (258), le lien «lu point M' est la droite M'^M', faisant bien l'angle ,T avec la droite i\r„//i',C', puisqu'on a la proporlion m'^M'i : M'o/n', =: //i,M, : M^m, = p= lang .T.

Il est évident, inversement, que lonle droite dcins le développement, représente quelque hélice du ei/lindre.

758. Deux hélices de pentes et rcnjons é(/aux, sont é(j(des directement on innersemeid, selon (pw leurs idlures soid homotaxiques ou <ndil(ixiques.

I. Le cas où il y a honiotaxie entre les allures est presque évident, quand les hélices sont tracées sur un même cylindre, à partir d'une même orif^inc ; car en appelant v,, a, pour l'une, V,, x„ pour l'autre, les valeurs des constantes v, a, la proportion V :v2z=ot, : ot., entraînée, en grandeurs, par l'égalité des pentes combinée avec les relations (2), en directions, par cette homotaxie, placera toujours sur une courbe chaciue j)oint de l'autre. Les choses ne sont guère moins visibles quand il est autrement, car les cylindres de.v hélices sont égaux, et on peut, à la fois, superposer l'un deux et un point donné de son hélice, à l'autre et à un point donné sur la seconde courbe.

II. Si maintenant, les allures sont antilaxiques, elles sont homotaxiques pour la première hélice et la symétrique de la seconde par rapport à un méridien de son cylindre (418, I) ; la troisième hélice étant ainsi égale, à la seconde inversement (473), à la première directement (égalité évidente des pentes et des ravons) (I), la première et la seconde le sont inversement (373, II).

759. Deux hélices de pentes égales, sont semblables directement ou iimersement, selon que leurs allures sont homotaxiques ou antilaxiques. Conséquence immédiate de ce qui précède et du théorème général du n^ 408.

Dans la pratique, où parfois il faut pouvoir préciser telle ou telle des deux allures possibles pour les hélices, on réussit facilement à les distinguer, en les rapportant au corps humain. En considérant par exenqile, un homme assis sur un terrain horizontal, le tronc dressé verticalement, les deux jambes allongées en écartemcnt sur le sol, puis un trièdre dont les arêtes suivent la jambe gauche, le tronc, la jambe droite, et sont numérotées dans cet ordre, une allure donnée, aNant les arêtes numérotées comme au n" 753, I, est dite dextï^orsum quand elle est homotaxique au trièdre humain, sinistrorsum quand elle lui est antitaxique. Toutes les hélices représentées l)ar nos figures sont dextrorsum.

760. Plusieurs menues observations ne sont pas dénuées d'intérêt.