I. En nommant t la valeur commune variable des rapports

438 NOTIONS SUR l'hélice.

celles de n, a qui les rendent égaux, c'est-à-dire qui fournissent tous les points de l'hélice, seront données, tout aussi bien, par l'attribution de toutes les valeurs possibles à l'indéterminée t dans les deux formules

72 ^v/, a^ at.

Ici, et contrairement à notre restriction du début, on peut supposer, soit a = 0, soit v = 0, ce qui conduit, non plus à une véritable hélice, mais soit à une droite parallèle à olo, soit à un cercle d'axe -Àa, passant toutes deux encore par Mg sur le même cylindre. Ceci rapproche l'hélice de la droite et du cercle, en montrant qu'e//e appartient à une famille de figures qui comprend ces lignes élémentaires. Avec un peu d'attention, on lui trouvera effectivement beaucoup de propriétés appartenant à ces dernières.

II. Sur un cylindre de révolution, on peut tracer une infinité d'hélices des deux allures, passant par deux points donnés M, N.

Il suffit cfTectivement de prendre : pour origine, M par exemple, pour la constante v, le segment de l'axe .JU du cylindre, allant de P à Q, projections de M, N, pour a l'un quelconque des dièdres (saillants ou composés), dirigés aussi, qui vont du demi-plan A^M à A'N.

Quand P, Q ne se confondent pas, on a de véritables hélices, parmi lesquelles une droite toutefois, si JUM, XN coïncident ; à des dièdres de directions opposées, correspondent des hélices d'allures dilTérentes. Quand ces points se confondent, on ne trouve qu'un parallèle du cylindre, se répétant indéfiniment (I).

III. Sur an cylindre de révolution, le plus court chemin entre deux points M, N, est iarc qu'ils limitent sur une des hélices passant par eux (II).

Car, sur le développement plan du cylindre, ce plus court chemin doit donner celui de M' à N', représentations de M, N (684), c'est-à-dire un segment rectiligne (459), et à toute droite du développement, correspond une hélice sur le cylindre (757).

On obtient évidemment l'hélice du plus court chemin, en prenant pour la constante a le dièdre saillant (ou l'un des neutres) compris entre les demi-plans AM, AN (II).

IV. A toute ligne brisée régulière de première espèce (426), on peut circonscrire une infinité d'hélices. Car une telle ligne est évideitiment inscrite dans le cylindre de révolution, de même rayon, qui a son âme pour axe (429), puis dans toute hélice tracée sur ce cylindre par les deux extrémités d'un côté quelconque (II).

Le lecteur verra sans peine comment les choses se passent pour une ligne de troisième espèce, et il rapprochera utilement tout ceci, de ce que nous avons vu aux n "^ 602 et suivants. 11 n'est pas possible d'inscrire une hélice à une ligne de première

MOUVEMENT HÉHCOÏUAL. J39

espèce, parce que deux tangentes à une telle courbe ne se rencontrent jamais, comme on s'en assurera avec un peu d'attention.

761. Les réapplications de l'hélice mobile fi du n° 752, IX sur l'hélice fixe W, sont encore réalisables par des déplacements attribuant à tous ses points, la courbe fixe pour trajectoirec ommune. Plus brièvement, une hélice est susceptible de glisser indéfiaiment sur elle-même, partageant ainsi avec ses (iègènèrescences rectilignes et circulaires (I) leur propriété capitale (17, 111 1, ^498, I).

762. Quand une figure solide se ment de manière qu'une hélice solidaire (non dcfjênérée en une droite) r/lisse ainsi sur elle-même, tous ses points décrivent des hélices de même âme, de même pas, et chacune de ces dernières, solidarisée avec la figure, glisse encore simplement sur elle-même.

La démonstration est si facile, que nous pouvons en laisser le soin au lecteur; il remarquera que, parmi toutes ces hélices, une seule est dégénérée, savoir leur âme commune, glissant sur elle-même comme toutes les autres.

On nomme hélicoïdal un mouvement de ce genre, dont la considération est d'une grande importance en Cinématique.

En particulier, tout déplacement d'une figure peut être réalisé d'une infinité de manières, par un mouvement hélicoïdal.

En construisant en effet dans la figure, une ligne brisée régulière dont le déplacement considéré opère une réapplication graduelle (712, I), on guidera un pareil mouvement par une quelconque des hélices circonscrites à cette ligne (760, IV).

763. Les propriétés de l'hélice trouvent des applications de la dernière utilité dans l'art des constructions mécaniques et autres, où elles dominent la taille des vis et de leurs écrous, le tracé des propulseurs préférés des bateaux à vapeur, des turbines hydrauliques, des ailes des moulins à vent, etc., etc. Elles ont encore fourni le principe de la vis d'Archimède, machine à élever l'eau, à déplacer les matières divisées, ..., dont l'invention est attribuée au grand géomètre de l'antiquité.

Le rapprochement des théorèmes des n°' 752, IX et 761 montrera facilement, qu'on peut remplacer toute translation d'une hélice, parallèle à son âme, par ta combinaioon d'un glissement sur elle-même et d'une rotation autour de la même droite, toute rotation de ce genre, par un pareil glissement accompagné d'une translation parallèle à Vùmc.

Si donc on a, par exemple^ une vis et son écrou, assemblés en toute liberté de glisser l'un sur l'autre (système ayant pour schéma celui de deux hélices identiques maintenues en application mutuelle, libres autrement), et si on fait tourner une de ces pièces dans l'espace, autour de l'àme commune, l'autre pièce,

440 NOTIONS SUR l'hélice.

avec un glissement relatif sur la première, subira une translation dans l'espace, moyennant que de tels déplacements lui soient seuls permis. D'où, avec ses conséquences cinématiques et mécaniques, la transformation d'un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne, et la transformation inverse tout aussi bien, par l'imposition d'une translation à une pièce, avec liberté exclusive de tourner laissée à l'autre.

(D'où cette illusion d'optique si connue : quand une vis bien régulière et de très faible pente, tourne autour de son àme, elle paraît animée d'une simple translation parallèle à cette droite. Effectivement, son déplacement est décomposable en un glissement sur elle-même, qui échapperait à l'œil à cause de l'uniformité du filet, et une translation à laquelle il croit, de préférence au déplacement réel, parce que son amplitude est minime par rapport à celle de ce dernier. Pour une cause analogue, une vis de pente considérable semble tourner, quand elle se transporte parallèlement à son àme.)

Des mêmes principes, dérivent les propriétés si précieuses des vis dormantes, relativement à leur pose, au forage de leurs trous par elles-mêmes dans les matériaux sans dureté, à leur serrage d'un règlement si précis, si facile en outre ainsi que leur démontage, ..., propriétés auxquelles s'ajoute la fixité procurée ensuite par l'intensité du frottement naturel. La réunion de ces remarquables qualités les fait employer par milliards, à l'assemblage des pièces dans les constructions les plus variées. (Les vis dormantes et la plupart des autres sont dextrorsum (759), allure facilitant beaucoup leur maniement par la main et le bras droits ; mais l'allure sinistrorsuinpeut être imposée par certaines nécessités.)

La forme de l'hélice, des formes très voisines tout au moins, sont fréquemment perceptibles chez les êtres organisés: conformation du test des escargots et d'autres mollusques univalves fort nombreux ; incurvation des tiges des plantes volubiles sur des supports cylindriques (dextrorsum pour le haricot, le liseron, . . ., sinistrorsum pour le houblon); alignement, sur un membre quelconque d'un végétal, des insertions des membres de la génération suivante; structure des trachées, chez les végétaux et les insectes; etc., etc.

Enfin, des décorations où l'hélice joue des rôles variés, ne sont pas rares sur les colonnes des monuments, des meubles, et sur quantités d'autres objets cylindriques.