Même question, en remplaçant la droite D par un plan P

74. Lieu des points m tels, qu'en nommant p, q les traces de la droite Om sur deux plans fixes P, Q, m divise dans des rapports donnés a : b, c : d, et de manières doiuiées aussi, les segments 0/j, Or/ respectivement.

75. Si sur deu.x droites D, D les points a, b, c,... et a , b', c ,. . découpent des segments proportionnels, c'est-à-dire si l'on a indéfiniment ab : ab' = ac : a c' = bc : b'c = .., les droites aa', bb' ce',... sont parallèles à un même plan.

76. Si, en outre, D et D sont parallèles, aa , bb', ce',... sont concourantes ou parallèles.

77. Si D et I) sont dans un même plan, et si aa', bb sont parallèles, cc',dd', ... sont toutes parallèles à celles-ci.

78. Si deux droites parallèles D et D sont coupées en a, b, c,... et en a, b', c',... par des plans issus d'une même droite I, les segments ab, ac, bc,... sont proportionnels à a'ft', ac', b'c',...

79. Lieu du point p divisant d'une manière et dans un rapport a : v tous deux donnés, un segment variable mn dont les extrémités se meuvent indéfiniment sur deux droites fixes OTu, Db.

80. Quatre points A, H, C, D étant donnés non dans un même plan, on demande une direction de plans projetants telle, qu'en nommant A , B', C, D' leurs projections sur quelque droite, B , C divisent en trois parties égales le segment A' D .

81. Si a, b, c, d désignent quatre points quelconques, les milieux des segments ab, bc, cd, du sont dans un même plan.

82. Les perpendiculaires à une même droite qui en rencontrent une seconde, divisent celle-ci en segments proportionnels à eeux que leurs pieds découpent sur la première.

83. Quand trois droites A, B, C sont parallèles à un même plan sans l'être mutuellement, trois autres M, N, P les rencontrant toutes sont parallèles aussi à quelque même plan. (On s'aidera par la considération des projections de toutes ces droites, faites sur un plan quelconque parallèlement à l'une des trois premières.)

84. Etant donnés une droite U, un plan P, tous deux fixes et non parallèles, puis un rapport invariable a : d , soit mm' un segment variable dont la droite demeure parallèle à P et rencontre D en un point d le divisant sans cesse dans le rapport a : a , d'une manière donnée. Quel est le lieu de ni, quand m décrit une droite?

85. Lieu du même point m , quand m se meut indéfiniment sur un plan.

86. Dans un plan, les droites [m'], [m"] issues d'un même point mobile m parallèlement à deux droites données P , P', en divisent deux autres D', D" en segments proportionnels ; quel est le lieu du point ni?

87. Que devient ce lieu quand on remplace les droites P', P' par des plans, et qu'on place les droites D, D' arbitrairement dans l'espace?

88. Une figure solide étant composée de deux droites A, B, si A' est la position de A après un demi-tour de la figure exécuté autour de B, les trois droites A, B, A sont perpendiculaires à une même autre.

89. En tournant autour d'une droite fixe à laquelle il est invariablement attaché, un plan mobile coupe sous un angle constant tout plan perpendiculaire à l'axe.

90. Sur des plans parallèles au sien, un angle se projette suivant d'autres tous égaux entre eux.

91. Etendre à des dièdres, à des plans, les théorèmes des n" 182, 184, 185, 190 sur des angles rectilignes et des droites.

92. Deux demi-plans opposés divisent dans le même rapport deux dièdres opposés par leur arête commune.

93. Si les segments Oa, Ob, Oc, Od,... sont égaux et parallèles à O a', 0'^', Oc', Od , ..., tous directement, ou tous inversement, sont égaux respectivement : 1° les segments ab, bc, ac, ... à db', b c', a'c', ... ; 2» les angles rectilignes bac, ... à bac', ...; S" les dièdres abcd,... à a'b'c'd', ...

94. Soient A un axe de rotation, P un plan solidarisé avec lui, et P' sa position après un demi-tour exécuté autour de A ; si P est parallèle à l'axe, il l'est aussi à P ; s'il le rencontre, il coupe P' suivant une droite perpendiculaire à cet axe.

95. Un angle rectiligne et sa position après un demi-tour exécuté autour d'un axe parallèle ou perpendiculaire à sa bissectrice (demidroite divisant cet angle en deux parties égales), ont leurs côtés parallèles.

96. Trouver la proposition correspondante pour un angle dièdre.

97. Si les segments ac, bd sont perpendiculaires et ont même point milieu, on a ab =z bc =z cd =z da, les droites ab, ad sont inversement parallèles à cd, cb, la droite ac est la bissectrice des angles bad, bcd, et bd est celle de abc, adc. Si enfin ac ■=^ bd, ces quatre angles sont droits.

98. La bissectrice de l'angle plan d'un dièdre est celle aussi de tout angle rectiligne résultant de la section du dièdre par un plan qui la contient.

99. Quatre points distincts a, b, c, d sont dans un même plan, si les angles abc, bcd, cda, dab sont tous droits.

100. Quatre droites A, B, C, D étant parallèles, si les plans AB, AC sont respectivement parallèles à DC, DB, les demi-plans divisant en deux parties égales les dièdres BAC, BDC sont parallèles entre eux et perpendiculaires à ceux qui jouissent des mêmes propriétés pour les dièdres ABD, ACD.

TABLE DES MATIÈRES

Préface v