RAPPORT DE DEUX SEGMENTS

128. On définit comme il suit le rapport de deux segments donnés a, h (dont le second n'est pas nul).

I. Quand il se trouve que a est égal à m fois h, c'est-à-dire à la somme de m segments égaux à b, le rapport de a à 6 est l'entier m.

IL Quand il arrive que a est égal à m fois la n'^™® partie de h

(127), le mcmc rapport est la fraction — .

III. Le plus souvent enfin, il n'est pas possible d'opérer ainsi, parce qu'il n'existe aucun segment, ni entiers m, n, tels que les proposés soient égaux respectivement à m fois et à n fois celui-ci ; on dit alors que ces segments n'ont pas de commune mesure, qu'ils sont (relativement) incommensurables (*', et on procède de la manière suivante :

On peut former deux segments variables a', b', qui soient commensurables entre eux (comme dans les cas 1, Il ci-dessus), et dont les différences avec a, b, respectivement, soient infiniment petites. (Chap. XIll, inf.) Dans ces conditions, le rapport variable m' : n' de a' à b' défini comme ci-dessus, tend vers une certaine limite (Ibid.) qui est alors le rapport des segments invariables proposés a, b. (Par exemple, on pourra prendre m', n' égaux aux plus grands nombres de fois qu'un même segment infiniment petit est contenu dans a et b.)

Comme on le voit, il y a une infinité de manières d'obtenir le rapport de deux segments donnés; mais, de quelque façon que l'on procède, le nombre ainsi trouvé est toujours le même i-* i^).

(1) L'incommensurabilité de deux segments (ou autres grandeurs similaires) est une vue de l'esprit, purement abstraite, qui ne se concrète dans aucun fait physique. Car un segment assez petit pour qu'aucun moyen d'observation ne puisse nous en faire percevoir de moindres, sera toujours, pour nos sens, une certaine partie aliquote d'un segment quelconque. Mais il serait incommode au dernier point, impossible même, de rester strictement dans la réalité des choses. Comment ferions-nous ailleurs, si, au lieu de spéculer sur les droites et les plans dont nous avons la vue idéale si nette et si simple, nous voulions, à toute force, tenir compte des rugosités des corps que nous traitons comme rectilignes et plans? Et à quoi bon, puisque ces abstractions ne nous font commettre aucune erreur dont nous aurions à souffrir pratiquement ? Dans le règlement d'un compte, on peut bien aller jusqu'aux millimes du solde, et au delà ; mais il n'est pas très sage de les calculer pour un créancier dédaigneux des centimes.

(2) On pourrait démontrer quelques points des affirmations précédentes ; mais ce seraient des longueurs dont l'embarras ne serait pas compensé par leur utilité. En particulier, elles ne déblayeraient pas le terrain de l'axiome énoncé à la fin de ce numéro, ni de quelques autres qui seraient à poser et tout au plus aussi clairs que la simple affirmation de l'existence de cette limite.

(3) Il importe de bien s'assimiler les considérations qui viennent de

129. Dans une même question où plusieurs segments interviennent, on en clioisit un même, dit unité, auquel les rapports des autres se nomment leurs mesures ou leurs longueurs. On sait que dans la pratique on adopte pour unité de longueur (ou de segment) tantôt le mètre, tantôt ses premiers multiples ou sousmultiples décimaux.

Un segment incommensurable avec l'unité adoptée est dit incommensurable (absolument). La mesure d'un segment nul, c'est-à-dire dont les deux extrémités coïncident, est toujours 0.

Quelle que soit l'unité choisie, la somme ou la différence (géométrique) de plusieurs segments a pour mesure la somme ou la différence (arithmétique) de leurs mesures ; le rapport (arithmétique) des mesures de deux segments, est indépendant du choix de l'unité ; par conséquent, il est égal à leur rapport défini ci-dessus (128), ce que l'on aperçoit immédiatement en prenant le second pour unité.

130. Ces divers axiomes permettent d'emploj^er les mêmes signes, parlés ou écrits, pour représenter des segments donnés, leurs sommes ou diirérences (géométriques), leurs rapports, et aussi leurs mesures, les sommes, différences, rapports (arithmétiques) de ces mesures. Les signes a, b, a-\-b, a — b, a:b, par exemple, s'appliqueront tout aussi bien à deux segments eux-mêmes, à leur somme... qu'à leurs longueurs... et au rapport de celles-ci.

Ces conventions apportent dans le langage et dans l'écriture des simplifications considérables, qui, pour des causes semblables, s'étendent à la mesure de toutes grandeurs (géométriques ou autres) d'une même espèce quelconque (angles, aires, volumes...). Il serait oiseux de répéter chaque fois cette observation générale ; mais // est essentiel de la retenir soigneusement, sous peine de ne pas avoir toujours une intelligence bien nette du langage géométrique.

131. Porter un segment donné AB sur une droite XY (fig. 17), à partir d'un point O de celle-ci et dans une de ses directions déterminées (23), c'est l'appliquer sur cette droite de manière que la position A' prise par l'une de ses extrémités, A pour fixer

nous conduire à la notion du rapport de deux segments rectilignes, parce qu'elles se reproduisent, presque textuellement, chaque fois qu'il y a à poser les règles de la comparaison numérique d'objets quelconques. La Géométrie nous en offrira plusieurs exemples

On notera surtout les conditions essentielles de la possibilité de cette comparaison : il faut pouvoir établir des règles précises pour constater l'égalité de tels objets, pour former l'objet égal à leur somme (physique), tout ceci exigeant, avant tout, que les objets considérés soient de même nature; il faut enfin, que chacun d'eux soit divisible en un nombre quelconque de parties égales les unes aux autres.

DIVISION d'un segment DANS UN RAPPORT DONNÉ. 45

les idées, se confonde avec O, que l'autre vienne en un point B' rendant la direction A'B' idcnticjue à la direction choisie, puis prendre le nouveau segment A'B', qui est égal au proposé.

Cette opération ne pcnt se faire que d'une seule manière, car elle exige que la demi-droite AB, d'origine A, vienne s'appliquer sur la demi-droite OY, déterminée sur la droite donnée par l'origine 0 et la direction choisie {Il)id. IV), {Cf. 155, inf.).

Si la direction n'était pas précisée, on pourrait choisir successivement l'une et l'autre des directions opposées de la droite, et l'opcralion serait exécutable de deux manières, l'une donnant le segment A'B', l'autre A'B".

132. Comme le glissement d'un segment (non nul) sur une droite fixe y laisse invariable toute direction qu'on lui aurait assignée (134, inf.), (32, III), deux segments AB, PQ, entre les extrémités desquels on a établi la correspondance marquée par ces notations, et ne pouvant que glisser sur cette droite, se juxtaposeront, soit toujours intérieurement, soit toujours extérieurement, quand on amènera ainsi deux extrémités correspondantes en un même point de la droite (A et P, ou bien P et Q). Par analogie avec ce que nous verrons plus tard (177, Chap. X, inf.), on pourrait les dire homotaxiques dans le premier cas, antitaxiques dans le second.

Pour que ces segments puissent s'appliquer l'un sur l'autre par simple glissement sur la droite fixe considérée, il faut donc et il suffit, non seulement que leurs longueurs soient égales, mais encore qu'ils soient homotaxiques. Quand ils sont antitaxiques, la possibilité de leur application exige que la liberté de leurs mouvements comprenne celle de glisser sur quelque plan au moins passant par la droite en question (118).

133. Un segment quelconque (mais non nul) étant donné, A B {fîg. 15), ainsi que deux nombres arbitraires a, b (non tous deux = 0), on peut toujours, mais cela d'une seule manière, le diviser intérieurement dans le rapport a : b, c'est-à-dire trouver un point I intérieur (122) et tel que le rapport (128) des segments lA, IB, soit égal à celui de a à b.

Et de même, sauf le cas où a = b, quand la division dans le rapport a : b doit être extérieure, c'est-à-dire quand le point cherché E doit être extérieur au segment, en donnant toujours EA : EB =^a:b. {Cf. 157, inf)

Désignons par / la longueur du segment donné et par x, y, celles des segments allant de A et de B au point cherché.

I. S'il s'agit d'une division intérieure, on a, pour déterminer

X, y, les deux équations

puisque le point I doit être intérieur au segment (125). La première donne

puis, par la combinaison de celle-ci avec la seconde,

l a-\-b d'où

X = — — - 1, et de même u = 1.

Pour avoir I, il suffit donc de prendre la seconde extrémité

d'un segment de longueur l, porté sur la droite AB à partir

de A et dans la direction AB (131). Et ce point est bien intérieur,

car l'inégalité évidente a<.a-{-b donne /</.

IL S'il s'agit d'une division extérieure, supposons a<ib pour

fixer les idées. Alors EA sera aussi <EB, et le point cherché

tombera dans quelque position telle que E,, rendant l'extrémité A

intérieure au segment BEj (126). Les équations du problème

seront alors

puisque Ej est maintenant extérieur {Ibid.). Comme b — a n'est pas nulle, la première donne

d'où, de même que ci-dessus (I),

puis

Comme byb — a, y esl > l, et en portant un segment de lon-

gueur / sur la droite contenant le propose, à partir de B et

dans la direction BA, on trouvera bien un point E, dans la région voulue.

Si l'on avait au contraire a > 5, on trouverait un point Ej tombant dans l'autre région de l'extérieur du segment.