JONGLEUR ALGÉBRIQUE D'UN SEGMENT

Quand a = b, il faudrait que x — y fût égal à 0 au lieu d'être égal à /, et les équations du problème sont imi)Ossiblcs comme le problème lui-même, car, des deux segments qui vont des extrémités d'un segment donné (non nul) à un même point extérieur quelconque, l'un est forcément plus grand que l'autre, et leur rapport ne peut être égal à a;a = l.

Plus brièvement, un point unique divise toujours tant segment non nul, tant intérieurement qu'extérieurement, d(ins un rapport donné quelconque, pourvu que celui-ci ne soit pas :=1 dans le second cas.

134. Dans chacune des directions opposées existant sur sa droite, un segment (non nul; peut toujours être décrit par un point animé de quelque mouvement de sens constant (23). A ces deux modes de description correspondent les deux directions dans chacune desquelles on peut à volonté concevoir le segment (131).

Dans le langage et dans l'écriture, ces directions se distinguent par l'ordre de succession des lettres notant les extrémités du segment. Par exemple, on écrira AB (fig. 4), le segment conçu dans la direction AB de la flèche supérieure, mais BA si on lui impose celle de la flèche inférieure. On peut dire qu'un tel segment a été dirigé.

11 est évident que la réapplication d'un segment dirigé, faite entre les mêmes extrémités par retournement (124), le place (Unis une nouvelle direction opposée à sa direction primitive.

135. Dans la plupart des questions où interviennent des segments découpés sur une même droite et dirigés comme nous l'avons dit ci-dessus (134), il est extrêmement commode de spécifier leurs directions, comme nous allons expliquer.

Sur la droite contenant tous ces segments, et dite alors axe, on choisit, une fois pour toutes, une direction que l'on dit positive, puis on introduit chaque segment dans les calculs par sa longueur absolue (129), prise positivement ou négativement, selon que la direction à lui imposée est identique ou opposée à cette direction positive de l'axe. Ou obtient ainsi les longueurs algébriques de ces divers segments dirigés. Par exemple (fig. 18), si la dii'ection positive de l'axe X'X est celle indiquée par la flèche supérieure, et si p, q sont les longueurs absolues des segments AB, CD, -\-p, —q seront leurs longueurs algébriques.

On nomme négative, l'autre direction de l'axe, opposée à la positive.

Combinée avec les considérations des n°^ 125, 126, cette convention conduit aux propositions suivantes, dont l'importance en Géométrie supérieure égale leur simplicité.

I. Si, sur l'axe et bout à bout, dans un ordre de succession arbitraire, chacun dans la direction marquée par le signe de sa longueur algébrique, on porte (131) des segments donnés en nombre quelconque, le segment résultant, celui, c'est-à-dire, qui a pour première extrémité celle du premier des segments donnés, pour deuxième celle du dernier, a toujours pour longueur algébrique la somme (algébrique) de celles des

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segments donnés. Du cas de deux segments où le fait est évident, on passera sans difficulté à ceux de trois, quatre...

En conséquence, ce segment résultant se nomme (en grandeur et en direction) la somme des segments dirigés donnés.

II. Si, sur Vaxe vt bout à bout, mais le second dans une direction opposée à la sienne, on porte deux seçiments dirigés, le segment résultant a pour longueur algébrique la différence (algébrique) des longueurs algébriques des segments donnés; c'est évident.

Ce segment résultant est la différence des segments dirigés dont il s'agit.

III. Le rapport de deux segments dirigés est, par définition, le rapport (algébrique) de leurs longueurs algébriques ; il est ainsi égal au rapport (arithmétique) de leurs longueurs absolues (128), pris positivement ou négativement selon que leurs directions sont identiques ou opposées.

On remarquera que ce rapport est tout à fait indépendant de celle des directions de l'axe que l'on a choisie pour positive. Par exemple, le

lA E A EqA rapport — (fig. 15) sera toujours négatif; , — ^ seront, au con-

IB EjB E2B

traire, toujours positifs.

Sous le bénéfice de ces conventions, il n'y a plus qu'une manière de diviser un segment dans un rapport algébrique donné {^-\-V), car le signe de ce rapport déterminera la nature extérieure ou intérieure de la division (133).

136. Un point n'est pas complètement déterminé sur une droite, quand on connaît seulement la longueur absolue du segment ayant pour extrémités ce point et un point fixe O de la droite, puisqu'il y a deux manières de porter un même segment sur une droite à partir de l'un des points de celle-ci (131). Mais le doute est levé dès qu'on fait de cette droite un axe (135), et que l'on se donne la longueur algébrique du segment ; car alors est déterminée la direction de l'axe où il faut le porter à partir de l'origine O, pour preudi-e ensuite sa seconde extrémité.

A chaque point de l'axe préalablement précisé dans sa direction positive, ainsi que dans la position de l'origine O sur lui, correspond étroitement ainsi une quantité algébrique unique, permettant de le retrouver immédiatement et sans ambiguïté. On nomme cette quantité la coordonnée (souvent abscisse) du point (jaar rapport à l'axe, à la direction et à l'origine choisis).

Sur la fig. 18, X'X étant toujours la direction positive de l'axe, l'abscisse est positive pour tout point de la demi-droite OX, négative pour ceux de son opposée OX', = 0 pour l'origine O.

Cette notion des coordonnées est capitale en Géométrie analytique. En particulier, elle est fort utile dans la question suivante.

137. Etant donnés sur un même axe (135), des points en nombre quelconque

(1) Pi, Po, •• , P*-l, P*,

(fig. 19), accompagnés de coefficients (positifs ou négatifs) correspondants

(2) CSi, 02, ..., CSfc j, rJ^,