CENTRE DE GRAVITÉ DE POINTS EN LIGNE DROITE
quelconques aussi, sous la seule reslriclion
(3) d, l-trf2-l-... +trf^i + CJk9ztO
exprimant que leur somme ne se réduit pas à 0, si l'on nomme 0^ le point divisant le segment PiPg dans le rapport — dj : ci], /Jins Gj, G3, ..., Gfc 2 et G, ceux divisant les segments G1P3, G2P4, ..., G^-aP^-i et G^oPh dans les rapports — dg : (ci, -f da), — «J^ : (s^i + 0J2 -h t^::). ••• «/ — d^ : (di + CJ2 -|- . . . 4" ^* - 1)' respectivement, le point G ainsi obtenu est toujours le même, dans quelque ordre que l'opération ait été conduite.
En considérant en outre un point quelconque M du même axe, on aura la relation
(4) 5J,.PiM + 552. P2M + • ■ • 4- trffc.î'fcM = (5J1 + d, -f . . . + 53^) GM,
où FiM, V-jM, ..., PfcM et GM désignent les longueurs algébriques de tous ces segments dirigés (135).
Soient O une origine clioisie arbitrairement sur la droite considérée (136), puis pi, po, ..., Pk les abscisses des points (1) et g-i, g-a» •••> 9k-2^ 9 celles encore inconnues de G,, G2, . . .,Gj 2, G. Les longueurs algébriques des segments GjPi, G1P2 étant évidemment /)i — r/i, /J2— ffi. l'équation
exprimera que Gi partage le segment PiPo dans le rapport — ti-. : cSi, et, par des réductions faciles, précédées de l'expulsion des dénominateurs, elle deviendra
(cJi + tio) gi = cSjPi + «i/32,
d'oii l'on tire immédiatement gi.
Pour trouver go, on aura de même
[(di + tda) + tdg] g 2 = (sJi + cJ..) g-i + rir.pa
ou, par combinaison avec la précédente
(r^i + 5^2 + t^s) 9-2 = ^iPi + ^iPi + ^sPs . et ainsi de suite, pour obtenir successivement g^, ..., gk-2< 9> jusqu'à
(5) (ay + a.,+ ... + rik) g = ^tpi + ^iPi + • . . + ^kPk-
Or, cette relation n'est que (4) écrite d'une autre manière, et comme sa forme reste la même quand on y permute arbitrairement les indices 1, 2, ..., /c, la valeur qu'elle fournit pour g est bien indépendante de l'ordre dans lequel on a pu considérer les points (1) pour exécuter les opérations conduisant au point G.
[Nous avons supposé implicitement qu'aucune des sommes transitoires (tdj -f 6J2). (5^1 + 512 + ^3)» ••• 11c se réduit à 0; s'il en était autrement, l'existence de la condition (3) permettrait évidemment d'éviter cet accident par un autre ordre de succession imposé aux points (1)].
Des considérations mécaniques, dans lesquelles nous n'avons pas à nous engager, conduisent à nommer ce point G, le centre de gravité des points (1) chargés de masses (parfois négatives) égales (ou proportionnelles) aux coefficients (2).
La remarque suivante est utile. Si l'on partage l'ensemble des points
(1) en deux groupes quelconques (Pj, Pj, . . ., Pj) et (Pi -f i, . . ., P^) donl G', G" soient les centres de gravité, le centre de gravité G de leur système se confond avec celui des points G', G" chargés de masses égales à (di + tdj, + . . . + 6i,) e^ (crfi + 1 + . . . + a,,). Car g , g', abscisses de G', G", sont déterminées par les équations (di 4- cJa 4- . . . + ri,) g' = riipi + d.pa + . , . -f td^p;,
(.^i + 1 + • • ■ + ^k) g' = ^i + iPi + i-\- ■■• + %-Pfc,
et celle j de leur centre de gravité, par
f(5Jl +^2 + ... + 6J0 + (5ii -(- 1 + ... + ^ù] J = (di + tdj + - + ^ù g'
+ ('^H + \ + •■• +^k)g' = ^iPl + ^-jPs + . . . + tà^Pk
donnant pour <j une valeur identique à celle de g tirée de (5).
Et de même, évidemment, si l'on répartissait arbitrairement les points (1), non plus en deux groupes partiels, mais en trois, quatre,...
Si l'on prend k = 2, rà^=n., = '[, le centre de gravité G devient le milieu O du segment P1P2, et la relation (4) se réduit à la formule
qui est souvent utile.
137 bis. Quand le premier membre de la condition (3) se réduit à 0, celui de la relation (i) prend une valeur invariable, ne dépendant plus de la position du ])oint M.
Car, en appelant alors «ï» la somme de ceux des coefficients (2) qui sont positifs, — <i> sera celle des termes négatifs dans la même suite, et, par ce qui précède, <I>.G'.M, — <Î>.G"M, où G', G" désignent les centres de gravité des groupes des points (1) qui correspondent à ces deux sortes de coefficients, seront les parties correspondantes du premier membre de l'équation (4). Or
<Ï>.G'M - «ï-.G'iM = <I>(G'M - G'M) = <i>.G G'
est bien le produit de la constante '!> par G'G", longueur algébrique également constante du segment limité par les points G', G". La formule si vulgaire
MP2-MPi=PiP2
est le cas particulier de cette observation pour k=2, rdj = — 1, trf„ = l.
Segments découpés sur deux droites par des droites parallèles ou des plans parallèles.
138. Si, dans les définitions du n" 122, on remplace les points A, B par deux droites parallèles PQ, RS (fig.2()), les demidroites AB, BA par les demi-plans PQ R, RSP, on obtient celle des points soit intérieurs, soit extérieurs à la bande PQ RS découpée dans le plan de la figure par ses lisières ou côtés rectilignes PQ, RS.
I. Une translation parallèle aux côtés (77) ne fait que réappli-
