BANDES, EN GÉNÉRAL

qiier d'une anlrc manière la bande sur elle-même. Car cliaque côté étant alors une glissière, chacun des deux demi-plans cidessus ne fait que glisser sur lui-même (78).

II. Les points d'une parallèle aux calés, menée dans le plan de la bande, soid tous à la fois, soil inlérieurs, soit extérieurs à celleci. Car, relativement à chaque côté, cette parallèle est située tout entièn^e dans tel ou tel des demi-plans opposés dont il est l'arête commune (42), (25).

III. Sur toute sécante non parallèle aux côtés, ceux-ci découpent un segment rectiligne (66) auquel et ci la bande chaque point de la sécante est en nième temps intérieur ou extérieur. Ceci résulte ininiédialenient des premières notions sur les demi-droites et demi-plans (24), (25), combinées avec la définition des points intérieurs et extérieurs à un segment (122) ou à une bande.

IV. Sur deux sécantes parallèles de ce genre, la bande, c'està-dire ses côtés, découpent deux segments égaux en longueur et de directions identiques (79).

Soient PQ HS (//</. 2U) la bande, et ab, a'b' les sécantes parallèles considérées. La translation de toute la figure, exécutée parallèlement aux côtés, qui amène son point a en a' (38, I), applique la droite ab sur sa parallèle a'b' , amène par suite b en en b' puisque le côté bb' ne fait que glisser sur lui-même

V. Réciproquement, les droites aa' , bb' sont parallèles, si les segments ab, a'b' sont égaux cl directement parallèles.

A cause de ces deux hypothèses, la translation du segment ab qui amène en a' son extrémité a, amène aussi en b' son autre extrémité b (79), (131); la droite bb' est donc, comme aa' , une glissière de ce mouvement, d'où son parallélisme avec cette dernière (77).

VI. Soient PQ RS, P,Q, RjS, (fig. 21), deux bandes situées dans un même plan et o côtés tous parallèles, puis ab, aj/j, et a'b', a'^b'^ les segments déterminés par elles sur deux sécantes quelconques non parallèles aux côtés. La relation topographique des deux derniers segments est la même que celle des deux premiers, c'est-à-dire que, sur la seconde sécante, la direction a'b' est identique ou opposée à cl'^b'^, selon que, sur la première, les directions ab, a^b^ sont identicpws ou opposées.

Supposons, comme sur notre figure, les points b, a, tous deux intérieurs au segment o/?,, cas auquel les directions ab, a^b^ sont identiques (122).

De cette disposition il résulte que RS, PiQi, parallèles aux côtés de la bande PQ H, S, menées dans son plan, lui sont toutes deux intérieures (III), (II), et, par suite {loc. cit.), que leurs traces b' , a', sur la sécante a'b'a'ib'i sont intérieures au segment a'b'i. Donc les directions a'b', a'^b'^ sont identiques aussi. Le

52 SEGMENTS RECTIIJGNES.

raisonnement est le même dans les trois autres dispositions possibles des points b, a, relativement au segment ab^.

En conséquence, noua nommerons relation topographique de deux bandes situées dans un même plan, à côtés parallèles, celle constante des segments qu'elles déterminent sur une même sécante quelconque.

139. La théorie des bandes a une ressemblance extrême avec celle des segments rectilignes (124 et siiiv.); la seule diflérence consiste en ce que, dans les questions où il faut placer les segments sur une même droite, les bandes doivent être placées sur un même plan, et cela parallèlement, c'est-à-dire de manière que leurs côtés soient tous parallèles.

Une bande est nulle quand ses côtés se confondent.

Deux bandes sont égales quand elles sont superposables (5).

La somme (géométrique) de plusieurs bandes est celle, toujours identique à elle-même, qui a pour côtés ceux extrêmes des bandes proposées, juxtaposées extérieurement dans un même plan; et de même, pour la différence de deux bandes inégales, elc.

De là on passe, comme pour les segments, à la notion du rapport de deux bandes considérées au point de vue de leurs étendues ou amplitudes, de la mesure des grandeurs de cette sorte, etc.

140. Quand deux bandeslÂ' BË' , CC'Î5D' (fîg. 22) situées dans un même plan sont parallèles, le rapport de leurs amplitudes est égal à celui des segments ab, cd qu'elles découpent simultanément sur une même sécante quelconque non parallèle à leurs côtés.

Appelant un instant cote d'une bande quelconque parallèle aux proposées et située dans leur plan, la longueur du segment découpé par elle sur la sécante abcd, nous dirons correspondantes l'amplitude de cette bande et sa cote, puis nous raisonnerons comme il suit.

L Qucmd deux cotes sont égales, les bandes correspondantes le sont aussi, et réciproquement.

Soient ap, cq, deux cotes égales, les notations aj^ant été choisies de manière à rendre identiques les directions ap, cq, puis AA'PP', CC'QQ', les bandes correspondantes. La translation capable d'amener a en c fait glisser la sécante sur elle-même et amène p en q parce que, pendant le mouvement du segment ap, sa direction reste la même (32, III) et qu'il est supposé égal à cq (131). Elle superpose donc la bande AA'PP' à CC'QQ', puisque les droites AA', PP' viennent alors s'appliquer respectivement sur leurs parallèles CC, QQ' (41).

La réciproque se démontre par les mêmes moyens.

II. A la somr.ie (géométrique) cd de plusieurs cotes cq, qr, rd

RAPPORT DES AMPLITUDES DE DEUX RAXDES. 53

juxtaposées exiérieiiremcnt, correspond la somme CC/ DD' des bandes qui leur correspondent. Car ces bandes, de cotes cq, qr, rd, sont aussi juxtaposées extérieurement les unes aux autres (138, VI), (139).

III. Supposons commensurables entre elles (128, III) les cotes ab,cd des bandes considérées, dans le rapport 2:3 pour fixer les idées, puis divisons ab en 2 parties égales ap, pb, puis cd en 3 parties égales cq, qr, rd. Ces 5 segments ap,..., cq,..., rd étant égaux les uns aux autres , les 5 bandes correspondantes AA'PPV..,CG'QQ',..., RR'TdD' sont toutes égales aussi (I). Mais AA' BB' est la somme des 2 premières, et CC DD' est celle des 3 dernières (II). Donc le rapport de ces bandes est bien 2 : 3 aussi.

IV. Si enfin ab et cd sont incommensurables, partageons cd en n parties égales et nommons m le plus grand nombre de ces parties qui soit contenu dans ab, c'est-à-dire dont la somme soit inférieure à ce segment. On verra comme ci-dessus (II), (III) que m est aussi le plus grand nombre de fois que la bande AA'B'B'' puisse contenir la n'^"'*' partie de CC'DD'. Mais(128, III), (139), le rapport, soit de ab à cd, soit de ÀA' BB' à CC DD', est la limite vers laquelle tend la même fraction m : n ; donc ces rapports sont encore égaux ^*'.

141. La largeur d'une bande est la longueur du segment de longueur constante (100), (138, IV), qu'elle découpe sur toute perpendiculaire commune à ses deux côtés, sa section droite en quelque sorte. {Cf. 144, 194, inf.).

Les amplitudes de deux bandes quelconques sont entre elles comme leurs largeurs. Car en plaçant ces bandes parallèlement dans un même plan, elles découpent leurs largeurs sur toute perpendiculaire commune à leurs côtés (140).

142. De l'alinéa IV du n'^ 138 résulte une conséquence très importante pour l'intelligence du mouvement de transport.

Toute translation d'une figure solide fait décrire à deu.v quelconques de ses points, des segments égaux et directement parallèles.

(1) Le lecteur devra bien s'approprier les deux dernières parties de cette démonstration, car on a à les reproduire textuellement dans les cas fort nombreux où il faut prouver que le rapport de deux grandeurs concrètes, d'une certaine nature, est égal à celui de deux correspondantes d'une autre nature, sachant : 1° que l'égalité de deux grandeurs dans une espèce entraîne celle des grandeurs correspondantes dans l'autre espèce; 2° que la somme physique de grandeurs quelconques dans une espèce a pour correspondante la somme aussi des grandeurs correspondantes dans l'autre.

Soient effectivement a, b {fig. 20) et a', b', les positions initiales et finales de ces points. Les droites ab, a'b' sont parallèles puisque l'une est applicable sur l'autre par simple translation. Les droites aa' , bb' le sont aussi l'une à l'autre, parce qu'elles sont deux glissières de ce mouvement (77). Donc (138, IV) les premières sont les côtés d'une bande découpant sur les dernières deux segments égaux et directement parallèles.

II s'ensuit que si m, m' sont les positions initiale et finale d'un même point quelconque de la figure, en caractérisera complètement sa translation en la disant égale et parallèle au segment dirigé mm' (134).

143. En substituant, dans la définition d'une bande, deux plans parallèles UVW, XYZ à ses côtés, les demi-espaces UVWX, XYZU aux demi-plans alors considérés, on passe à celle d'un mu/- ayant ces plans parallèles {-tour parements on faces, de son intérieur et de son extérieur,... Les propositions du numéro 138 s'étendent immédiatement aux murs, moyennant ces autres modifications.

Dans l'alinéa I, on peut remplacer la translation par un déplacement quelconque, parallèle aux faces du mur (120).

Dans l'alinéa II, on peut considérer un plan parallèle aux faces, aussi bien qu'une droite parallèle.

Un simple élargissement de l'alinéa VI procure la notion de la relation lopographique entre deux murs à faces toutes parallèles.

Si, au lieu de sécantes, on fait intervenir des plans sécants non parallèles aux faces, les propositions 111, IV, V, VI, subsistent pour les bandes naissant de ces diverses sections.

144. Les considérations des nos 140, 141 s'étendent avec la même facilité à la mesure des murs. On obtient encore cette proposition dont le lecteur apercevra immédiatement l'exactitude.

Le rapport des amplitudes de deux murs à faces toutes parallèles est égal à celui des segmenls découpés par eux sur une même séccmte, et, tout aussi bien, à celui des bandes tracées par eux sur un même plcui sécant (non parallèle non plus aux faces).

Les amplitudes de deux murs quelconques sont entre elles comme les épaisseurs de ceux-ci (ce sont pour chacun le segment tracé par lui sur une perpendiculaire commune à ses faces) et encore comme leurs sections droites (bandes tracées par eux sur des plans perpendiculaires à leurs faces).