CD ~ C

les points D, D' de la quatrième paire sont situés à la fois aussi sur une droite parallèle aux trois considérées dans le premier cas, sur un plan parallèle aux trois considérés dans le second.

I. Le premier point est évident, car deux paires de segments correspondants AB et A'B', CD et CD' sont tracés sur les deux droites fixes, soit par deux bandes parallèles, soit par deux murs parallèles, et nous savons alors, que les relations topographiques de AB à CD et de A'B' à CD' sont identiaues (138, VI), (143), et que chacun des rapports AB : CD, A'B': CD' est égal au rapport des amplitudes, soit de ces deux bandes, soit de ces deux murs (140), (144).

II. Pour établir la réciproque, supposons qu'il s'agisse des points a, b, Oj, Z?, et a', b', a\, b\ (fig. 21) se correspondant sur deux droites, de manière que les trois droites aa\ bb', a^a^ soient parallèles, que les relations topographiques de ab à a^b^ et de a'b' à a\b\ soient identiques, et que l'on ait la proportion

et nommons p'^ la trace sur la seconde droite, d'une parallèle à na' , bb' , a^a\ menée par le point Z>, de la première.

A cause de la partie directe de notre théorème, la direction du segment a\Q\ est identique à celle de a\b\ parce que la relation topographique de a\p\ à a'b' est identique à celle de ab à a,/?.

56 SEGMENTS RECTILIGXES.

qui, elle-même, l'est par hypothèse à celle de a'b' à û'i^'j. En outre, on a la proportion

ab a'b'

dont la combinaison avec la proportion supposée (1) donne a'^^i'^ = a'^b'^. Les points S'j, 5', se confondent donc, puisqu'ils sont les extrémités de segments égaux portés tous deux dans des directions identiques sur la même droite a'b'a'^, à partir du même point a', (131).

Même raisonnement dans le cas où l'on aurait à considérer trois plans parallèles au lieu de trois droites parallèles.

146. Le théorème précédent (subsistant évidemment pour des bandes correspondantes tracées sur deux mêmes plans par des plans parallèles à un plan fixe) est de la plus haute importance dans toute la Géométrie dont les développements dérivent, tous à fort peu près, de lui et d'un autre que nous énoncerons au no 182 (m/.). En voici les cas particuliers les plus fréquemment appliqués.

Quand deux droites concourantes sont coupées par deux sécantes parallèles, leur point d'intersection O (fig. 23) {dédoublé par la pensée) elles traces de cesparcdléles découpent sur elles des segments proportionnels et semblable ment disposés sur chacune des deux droites.

En particulier, on a les proportions :