OA OA/ AB A'B' BO B^ ^^-^ ÔB ~ OB' ' AO ~ Â^Ô ' BA "" B'A

Réciproquement, si une seule des proportions (2) a lieu, la seconde pour fixer les idées, avec dispositions semblables pour les points O, A, B d'une part, O, A', B' d'autre part, les sécantes AA', BB' sont parallèles.

La considération d'une parallèle à AA', BB' menée par le point O, puis dé(ioublée par la pensée, ramène immédiatement au cas général où interviennent quatre droites ou quatre plans parallèles.

147. Si a, b,c,d,... et a', b', c' , d' , ... sont les points, deux à deux correspondants, que des plans ou droites parallèles en nombre quelconque tracent simultanément sur deux droites, la disposition relative des premiers points sur leur droite est identique à celle des seconds sur la leur, et l'on a la suite de rapports tous égaux.

ab ac

ad bc

~ Jd' '

ab ac '

lib

ad bc

PROJECTIONS SVn UNIC DUOITE. 57

Ceci résulte immédiatement du n» 145 où, en particulier, nous avons établi la proportion

a'b' ab a'c' ac

donnant par la transposition des moyens (puisqu'il s'agit de grandeurs toutes d'une même espèce),

puis de même,

Plus brièvement, les segments correspondants découpés sur deux mêmes droites par des plans ou droites parallèles, sont toujours proportionnels, les premiers aux derniers.

148. La valeur commune des rapports (3) est toujours 1, quand les droites coupées, abcd..., a' b'c' d'... sont parallèles. Cur alors, deux segments correspondants sont toujours égaux, comme parallèles comprises entre parallèles (138, IV), (143).

149. Etant donnés une droite fixe, dite axe de projection, et un plan fixe non parallèle à cet axe, on nomme projection d'un point quelconque, le pied sur l'axe, c'est-à-dire la trace, d'un plan mené parallèlement au plan fixe par le .point considéré, plan 'parallèle qui est le plan projetant de ce point.

ha projection d'un segment quelconque est le segment correspondant de l'axe, ayant pour extrémités les projections de celles du segment donné. Elle est toujours nulle quand celui-ci est parallèle au plan fixe, car alors les plans projetants de ses extrémités se confondent avec le plan parallèle au plan fixe que l'on peut mener par la droite contenant le segment donné (60).

Le cas le plus fréquent est celui où les plans fixe et projetants sont perpendi^'ulaires à l'axe. Les projections sont dites alors orthogonales. Dans les autres cas on les nomme obliques (86).

150. Quand les segments que l'on projette sont tous sur une même droite, on voit par ce qui précède (147) que, sur l'axe, leurs projections ont les mêmes dispositions relatives qu eux-mêmes sur leur droite commune, et que les longueurs de toutes ces projections, respectivement proportionnelles à celles des segments correspondants, peuvent s'obtenir en multipliant toutes ces dernières par quelque même nombre [égal à 1 quand la droite du segment proposé est parallèle à l'axe de projection (14iS). ]

Car, en considérant un segment invariable a&, sa projection

a'b' invariable aussi, puis un segment indéterminé mn et sa projection m'iï, on aura toujours :

mn ab '

c'est-à-dire

m'n' ;= p.mn

en représentant par p le rapport invariable a'b' : ab.

151. Quand les points que l'on projette sont tous dans quelque même plan contenant l'axe aussi, les projections sont tout aussi bien les pieds sur l'axe, de droites projetantes toutes parallèles, comme traces, sur le plan de la figure, des plans projetants tous parallèles entre eux (57). Par exemple (fig. 23), A',B' sont les projections de A,B, faites par des projetantes parallèles à la droite ponctuée passant par O.

Quand les projections sont orthogonales, les projetantes sont perpendiculaires à l'axe de projection.

152. Si sur chacune des deux droites considérées au n" 145, les segments ont été dirigés comme nous l'avons expliqué au n» 135, le théorème s'énoncera avec plus de concision, en disant que, sur chaque droite, le rapport algébrique de deux segments (Ibid. III) est toujours égal à celui de leurs correspondants sur l'autre droite.

153. Quand un segment est conçu dans une direction déterminée, on impose toujours à sa projection sur un axe (149), celle allant de la projection de la première extrémité à celle de la seconde. Si, par exemple, on impose aux segments les directions marquées par 'les notations, la projection (géométrique) de ba (fig. 21), faite sur l'autre droite par des projetantes parallèles à PQ, RS, ..., sera ba', non a'b'

Si l'on a attribué une direction déterminée à l'axe de projection (135), la projection algébrique d'un segment dirigé est la longueur algébrique de sa projection géométrique, prise avec la direction que nous venons d'indiquer. Par exemple (/if/. 24), pour la direction de l'axe X'X marquée par ses deux flèches, et si les projections absolues A'B, DE' des segments AB, DE conçus sans directions, ont les longueurs V, p' les projections algébriques des mêmes segments, pourvus des directions indiquées par leurs flèches, seront -{- 1, — p'.

154. Quand des segments dirigés AB, BC, CD, DE (fig. 24) se succèdent dans l'espace d'une manière quelconque mais de manière cjue, sauf pour le premier, la première extrémité de chacun se confonde avec la dernière du précédent, formant ainsi une ligne brisée (205), on nomme leur résultante, le segment dirigé AE ayant pour première extrémité celle du premier, pour deuxième celle du dernier.

Cela posé, la projection algébrique de la résultante est toujours égale à la somme algébrique des projections des segments considérés (ou composantes), car cette projection de la résultante est la longueur algébrique A E' (ici positive), quantité que l'on retrouvera en additionnant algébriquement (135, I) les projections géométriques AB', B'C, CD', D'E', pourvues des signes indiqués par les règles topographiques du n" 153.

Dans le cas où la ligne brisée ABCDE est fermée, c'est-à-dire où ses deux extrémités A, E se confondent. A', E' projections de celles-ci se confondent aussi, et la projection A'E de la résultante est nulle ; donc, faites sur un axe et parallèlement à un plan fixe quelconque, les projections de segments formant une ligm fermée donnent une somme algébrique se réduisant toujours à 0.

Ces deux propositions si simples sont parfois d'une très grande utilité.

Applications.

155- Sur une droite donnée, à partir d'an point et dans une direction également donnés, porter un segment égal éi un segment donné (131).

On se sert habituellement d'un compas, Instrument composé de deux branches de métal réunies par une articulation à frottement dur, et terminées toutes deux (du moins habituellement) par des pointes d'acier très aiguës. Moyennant certains efforts, les branches du compas peuvent s'ouvrir ou se fermer plus ou moins, après quoi la raideur de l'articulation fait de lui une figure restant invariable quand on le manie avec précaution.

En maintenant l'une des pointes du compas piquée sur une extrémité du segment donné, on ouvre l'instrument ou on le ferme jusqu'à ce que sa seconde pointe puisse coïncider avec l'autre extrémité de ce segment. Ensuite, sans déformer le compas, on place une de ses pointes sur le point donné ; puis, avec l'autre pointe, amenée sur la droite donnée et dans la direction voulue, on fait une légère piqûre sur le papier; c'est la seconde extrémité du segment cherché.

156. Construire le segment dont le rapport à un segment donné soit égal à celui de deux autres segments donnés.

Sur une même droite je juxtapose (extérieurement ou intérieurement, peu importe) les segments AB, AO (fig. 23), au rapport desquels doit être égal celui du segment inconnu au premier segment donné. Sur une autre droite quelconque passant par O, je porte ce premier segment en OA' (direction quelconque) (155); je trace la droite AA' (30) ; puis, par B, je lui mène la parallèle BB' (63) coupant OA' en quelque point B' (67). Le segment A'B' est celui que l'on cherchait ; car les segments découpés par les parallèles AA', BB' sur les droites OAB, OA'B' concourant en O, donnent bien :