A'O AO
C'est une proportion dont trois termes sont les segments donnés et dont le quatrième terme est la solution du problème ; celui-ci se nomme, en conséquence, la quatrième proportionnelle
60 SEGMENTS RECTILIGXES.
aux trois segments donnés, ceux-ci, bien entendu, étant considérés dans l'ordre où ils ont été présentés.
Quand A'O ^= AB, on dit quelquefois que le segment A'B' que nous venons de construire, est la troisième proportionnelle aux segments donnés AB, AO.
157. Partager un segment donné OB (fîg. 23), soit intérieurement, soit extérieurement, dans un rapport donné m : n (133).
En multipliant par les nombres m, n la longueur d'un même segment quelconque, j'obtiendrai celles de deux autres de rapport m : n que je porterai en OA' et A'B' sur une droite quelconque menée par le point O, les directions A'O, A'B' étant rendues opposées pour la division intérieure, mais identiques pour la division extérieure.
Cela posé, je joins les points B, B', et, par le point A', je mène à la droite BB', une parallèle dont la trace A sur la droite OB est le point de division cherché.
Car, de même que A' relativement au segment OB', A est intérieur dans le premier cas, extérieur dans le second, au segment correspondant OB (146), et l'on a bien :
AO A'O m
— - = = -. (Ibid.)
AB A'B' n ^ ^
Si l'on avait m = n, on aurait aussi A'B' = OA', et, pour la division extérieure, le point B' se placerait en O, la droite BB' s'appliquerait sur BOA, sa parallèle menée par A' deviendrait parallèle à OB et ne rencontrerait plus cette droite (42) ; c'est une manifestation graphique de l'impossibilité que nous avions déjà reconnue autrement à ce cas de problème.
158. Diviser en n parties égales (127j un segment donné OB (fig. 25). C'est un simple cas particulier de la division intérieure de ce segment (157).
Par O, je mène une droite quelconque sur laquelle je juxtapose extérieurement n segments OB',, B', B'.^, B'.^B'g, ..., B'„,B', tous égaux à un même segment pris arbitrairement. Je joins B'B, et des parallèles à cette droite menées parB',, B\, B'g, ..., B'n-i, traceront les points de division B,, B.;, B3, ..., B'„, cherchés sur OB. Car les segments OBj, BjBj, ... sont tous aussi extérieurs les uns aux autres, et l'on aura bien, par exemple :
Bi>Bo B'nB'o 1
OB OB' n ^ '
