COMPARAISON DES ANGLES

Angles rectlligncs en général.

159. En appliquant à la figure formée par deux demi-droites distinctes OA, OB (fïg. 26), tracées à partir d'une même origine O, les considérations du no 138 qui nous ont conduit à la notion des bandes, on obtient la définition d'un angle recliligne saillant, ayant les demi-droites en question pour côtés et leur origine pour sommet.

On désigne une telle ligure, soit simplement par la lettre afTectéeà son sommet, quand il n'y a pas de confusion à craindre, soit d'une manière plus précise par trois lettres, dont deux affectées à des points situés arbitrairement sur ses côtés, dont la troisième attribuée au sommet se prononce et s'écrit entre les deux autres. On dira ainsi l'angle O ou AOB.

I. L'intérieur de l'angle saillant AOB est ainsi la région commune aux deux demi-plans OAB, OBA dont chacun a pour arête la droite d'un côté et contient l'autre côté ; il est ombré sur notre figure.

L'extérieur du même angle est le surplus du plan de l'angle, non ombré.

II. Quand une demi-droite d'origine O, a un seul de ses points soit intérieur à cet angle, soit extérieur, tous ses autres points sont aussi intérieurs à l'angle dans le premier cas, extérieurs dans le second ; car alors ces autres points appartiennent tous ou n'appartiennent aucun, à la fois, aux demi-plans dont la région commune est l'intérieur de l'angle saillant (27).

D'où la notion d'une demi-droite intérieure ou extérieure à un angle saillant. (Cf. 138, II.)

III. Quand un segment rectiligne a ses extrémités sur les côtés d'un ongle saillant, ailleurs qu'en son sommet (ou sur les prolongements de ses côtés), ses points intérieurs sont tels aussi par rapport à l'angle, et ses points extérieurs lui sont aussi extérieurs. La définition même d'un angle saillant rend ce point évident. (Cf. 138, III.)

IV. Un tel segment AB (fig. 27) est toujours rencontré ci son intérieur par une demi-droite 01, d'origine 0, qui est intérieure à l'angle.

62 ~ ANGLES RECTJLIGNES ET DIÈDRES.

Car si l'intérieur de ce segment était coupé par le prolongement de la demi-droite, ce prolongement serait intérieur à l'angle (III), (II), celle-ci par suite lui serait extérieure. Si la demi-droite considérée 01 (fig. 28) était parallèle au segment, elle serait, à coup sûr, inversement parallèle à l'une BA des directions du segment, dès lors (81) non située dans le demi-plan OBA, par suite extérieure à l'angle (I).

160. L'extérieur d'un angle saillant AOB (fig. 26) est, tout . aussi bien que son intérieur, une région de son plan limitée

par l'ensemble de deux demi-droites OA, OB de môme origine ; cette région qui n'a pas été ombrée sur la figure se nomme Vinléiieiir de l'angle rentrant de mêmes somnwt 0 et côtés OA, OB ; quant à l'extérieur de l'angle rentrant, c'est l'intérieur de l'angle saillant. Un angle rentrant se désigne par les mêmes notations que l'angle saillant de mêmes sommet et côtés, sauf précautions convenables pour éviter, quand il y a lieu, la confusion possible entre les deux angles.

Si l'on prolonge en O'a', 0'^' {fig. 26) les côtés de l'angle rentrant A'O'B', l'intérieur de cet angle comprendra ainsi les trois régions du plan, respectivement communes aux demi-plans b'A'b' et O'FA', (VWa' et WX'li', O'ÂJb' et OWa'. {Cf. 171, inf.)

Contrairement à ce qui se passe pour un angle saillant (159, III, IV), un segment a3'ant ses extrémités sur les côtés d'un angle rentrant a ses points intérieurs à l'extérieur de l'angle, et vice versa ; une demi-droite issue du sommet de l'angle, tantôt lui est parallèle, tantôt rencontre soit son extérieur par ellemême, soit son intérieur, mais alors par son prolongement.

161. Quand les demi-droites considérées coïncident ou sont opposées, ces définitions sont illusoires, en particulier parce que toutes deux tombent à la fois, non plus dans un plan déterminé, mais dans tous ceux, en nombre illimité, qui passent par leur droite commune. On choisit alors un de ces plans, et on dit que ces demi-droites y forment :

Dans le premier cas, un angle saillant nul, sans intérieur, et un angle rentrant replet ayant pour intérieur la totalité du plan considéré (Cf. 188, inf.) ; dans le second, deux angles neutres, dont les intérieurs sont les demi-plans découpés dans leur plan par la droite que la réunion de leurs côtés reconstitue. (Ibid.)

162. L'égalité de deux angles comporte la possibilité de superposer, non seulement les lignes formées par leurs côtés, mais encore les régions de leurs plans formant leurs intérieurs; elle exige donc que ces angles soient d'une même sorte, c'està-dire tous deux ou saillants ou rentrants. Celle de deux angles nuls, ou replets, ou neutres, est évidente.