COMPARAISON DES ANGLES REGTILIGNES

Quand deux angles sont égaux, ils le sont encore d'une seconde manière 6) consistant en ce que ceux de leurs côtés qui n'étaient pas homologues dans la première, le sont dans l'autre {Cf. 124). Par exemple, les anjfles saillants AOB, A'O'ii' (fUj. 20) sup[)()sés égaux peuvent être superposés, les côtés OA, OB placés respectivement en O'A', O'B'. Mais, certainement aussi, ils peuvent l'être de manière que ce soient OB, OA qui s'appliquent sur C'A', O'B'.

Le second mode d'égalité se confond toutefois avec le premier, quand il s'agit d'angles nuls ou replets, et il deviendrait impraticable si les angles considérés n'étaient libres que de glisser sur un môme plan {Cf. 179, inf.), (Cf. 132).

163. La comparaison numérique des angles exige des considérations un peu moins intuitives que celle des bandes et murs.

L Deux angles rectilignes aj'ant un côté commun, même sommet par suite, sont dits contigiis ou adjacents par ce côté, cela principalement quand ils sont dans un même plan ; si, de plus, ils sont saillants, leur contiguïté est extérieure ou intérieure, selon que les intérieurs de ces angles n'ont aucun point commun ou bien en possèdent quelque région. On se trouve dans le premier cas ou dans le second, suivant que les autres côtés tombent de part et d'autre ou d'an même côté du côté commun (et de son prolongement) (26, in fine). Par exemple AOB, AOC (fig. 29) sont contigus extérieurement par le côté commun OA ; mais AOB, AOC le sont intérieurement.

IL Des angles saillants en nombre quelconque étant donnés, on peut toujours, et cela dans un ordre de succession arbitraire, les juxtaposer extérieurement sur un même plan, c'est-à-dire les y placer de telle sorte que deux consécutifs soient toujours contigus extérieurement. Le côté libre du premier angle avec celui du dernier forment alors une figure à laquelle est égale toute figure de même genre, pour la construction de laquelle on n'aurait changé que l'ordre de succession des angles saillants considérés. (Cf. 125).

Cette nouvelle figure est un angle saillant encore, ou sinon composé, dont l'intérieur comprend tous les points du plan qui sont intérieurs à l'un ou à l'autre des divers angles, simples dans un sens relatif, qui ont été combinés ainsi ; on la nomme la somme de ces angles.

Deux angles 'composés sont égaux, quand on peut les considérer comme des sommes d'angles simples respectivement égaux ; leurs côtés forment alors deux figures superposables.

La somme de plusieurs angles composés s'obtient en faisant celle de tous les angles simples dont les uns et les autres sont

formés. Par exemple, l'angle replet (161) est la somme de deux angles neutres, le double de chacun (162), (V, inf.).

III. Quand deux angles (simples ou composés) sont inégaux, l'un d'entre eux est toujours la somme (11) de l'autre et d'un troisième angle non nul. On dit alors que le premier est plus grand que le second, que celui-ci est plus petit que le premier, et on nomme le troisième, Vexcês du premier sur le second, plus souvent leur différence (Cf. 126).

IV. Un angle quelconque étant donné, et quel que soit le nombre entier n, on peut toujours trouver sa/i'™'' partie, c'est-à-dire un nouvel angle tel, que la somme de n angles égaux à lui reproduise le proposé '. Pour un même angle, cette /z*-^"'' partie se reproduit toujours égale à elle-même, de quelque manière que l'opération ait pu être exécutée.

Elle diminue toujours, quand n augmente, et on peut toujours choisir ce nombre assez grand pour la rendre plus petite qu'un angle choisi à volonté {Cf. 127).

V. Tout cela posé, on arrivera à la notion du rapport de deux angles, puis à celle de la mesure ou amplitude d'une grandeur de cette espèce, en procédant exactement comme nous l'avons fait au ïv 128 pour les segments rectilignes {Cf. 139). Un angle nul (161) a 0 pour mesure.

On voit que, de part et d'autre, les choses ont de très grandes analogies. Il y a toutefois ces dissemblances : que deux angles non tous deux saillants peuvent être égaux géométriquement sans l'être numériquement, c'est-à-dire sans avoir la même amplitude, Ex. : les angles AOB et AOB (fig. 30), ce dernier composé et somme des angles saillants AOB, BOC, COD, DOE, EOB ; qu'un même point du plan peut être plusieurs fois intérieur à un angle composé plus grand que l'angle replet, Ex : le point P est doublement intérieur à l'angle composé AOB, parce qu'il l'est à chacune de ses parties simples AOB, EOB ; qu'un angle supérieur à l'angle replet est privé d'extérieur, Ex. : l'angle composé BOC + COD + DOE a bien pour extérieur, l'intérieur de l'angle simple EOB, mais aucun point n'est extérieur à l'angle AOB ; etc.

(1) La comparaison des angles, entre eux seuls, n'est pas une opération d'une nature moins simple que celle des bandes et murs (138 et suiv.); mais il en est tout autrement quand on veut la ramener, comme nous l'avons fait pour ces figures, à celle de certains segments rectilignes. Par exemple, la division d'un angle en n parties égales, que des moyens empiriques procurent couramment dans la fabrication des instruments propres à la mesure des angles, dans la construction des roues d'engrenage, etc., devient, à cet autre point de vue, une affaire des plus compliquées, particulièrement quand le nombre n n'est pas une puissance de 2.