ANGLES JUMEAUX. G

ment, c'est-à-dire dans sa position primitive B'OA', cet aiif^le était donc égal et de sens contraire à AOB; d'où l'égalité de A'OB' et AOB, avec identité de leurs sens.

169. Rcci])roqiicment, AOA', BOB' sont égaux el d'un même sens, si AOB, A'OB' sont tels mutuellement. Celte proposition ne diffère de la précédente que par les notations.

170. En associant deux à deux, indistinctement, les côtés d'un angle saillant et leurs prolongements, on forme, toujours dans son plan, trois nouveaux angles saillants, ayant avec lui d'élroites relations auxquelles il faut à chaque instant avoir égard; nous les nommerons ses jumeaux.

Pour un angle saillant tel que A'O'B' {fig. 26), nous préciserons cette dénomination générale en disant que chacun des deux angles a'O'B', A'O'b' compris entre un de ses côtés et le prolongement de l'autre lui est opposé par le côté commun O'B' ou O'A', que l'angle unique a'O'b' compris entre les deux prolongements des mêmes côtés lui est opposé par le ou au sommet commun O'. A ce sujet voici des observations à retenir.

I. La somme d'un angle saillant A'O'B' et de l'un de ses opposés par un côté, B'O'a', est égale à l'angle neutre A'O'a' (161). Car ces deux angles sont adjacents extérieurement par leur côté commun O'B', et leurs côtés libres forment l'angle neutre, parce qu'ils se prolongent l'un l'autre.

Plus brièvement, ces deux angles sont supplémentaires, ou bien chacun d'eux est le supplément de l'autre, car on qualifie ainsi deux angles dont la somme reproduit l'angle neutre.

II. Le même angle A'O'B' et son opposé au sommet a'O'b' sont égaux entre eux.

Leur égalité résulte de ce que les côtés O'A', O'B' de l'un forment respectivement avec ceux de l'autre, O'a', O'b', des angles (neutres) égaux, A'O'a', B'O'b', ayant même sens rotatoire (168).

On peut dire encore qu'ils sont les excès, différemment construits, des deux angles A'O'a', B'O'b', neutres, partant égaux entre eux, sur le même angle B'O'a'.

III. Réciproquement, deux demi-droites O'A', O'a' se prolongent l'une Vautre, si, dans un même plan, elles sont les côtés libres de deux angles supplémentaires A'O'B', B'O'a' adjacents extérieurement, ou bien si, placées de part et d'autre d'une même droite B'O'b' tracée par leur origine commune, elles font des angles égaux avec les demi-droites opposées O'B', O'b' que le point O' découpe sur cette droite.

Dans le premier cas, menons de O' la demi-droite O'a'^ opposée à O'A' ; les angles B'O'a', B'O'a'^ sont, l'un par hypothèse, l'autre par construction (I), supplémentaires au même

angle A'O'B', c'est-à-dire qu'ils sont les excès de deux angles neutres, partant égaux, sur le même angle A'O'B' ; ils sont donc égaux, et comme ils sont portés, à partir de la demi-droite O'B' dans des sens rotatoires identiques, leurs autres côtés coïncident (166).

Le second cas se traite de la même manière, ou bien encore en un seul mot par l'intervention du théorème du n° 169.

171. On pourrait nommer replémenlaires, ou encore replémeiits l'un de l'autre, deux angles, l'un saillant, l'autre rentrant, ou tous deux neutres, dont la somme est égale à l'angle replet (161), par exemple un angle, soit saillant, soit rentrant, et son extérieur formant en quelque sorte son moule.

Si deux angles replémenlaires sont adjacenls exlêvieurement, leurs côtés libres se confondent. Même raisonnement que ci-dessus (170, III).

On remarquera que l'extérieur d'un angle saillant, son replémentairc disons-nous, n'est pas autre chose que la somme de ses trois jumeaux (160).

172. Si un plan mobile pivote sur un plan fixe autour d'un pivot O (//£/. 32), (83, III) de telle sorte que l'une de ses demi droites issue de O passe de sa position initiale OA à sa position finale O A' par un mouvement giratoire de sens constant (164, III), toute autre demi-droite issue de O dans le plan mobile passera de sa position initiale OB à sa position finale OB' en décrivant un angle BOB' ayant même cunplitude et même sens que l'angle AOA' décrit simultanément par la première.

I. Les angles AOB, A'OB', forcément égaux, sont encore de sens identiques.

Si ces angles sont saillants, et le déplacement assez faible pour qu'une même droite dans le plan fixe puisse rencontrer leurs quatre côtés (eux-mêmes), le point en question résulte immédiatement de la considération des relations topographiques entre les segments découpés par eux sur cette sécante (164). De là on passe ensuite au cas général par une décomposition évidente de ces angles en sommes de plusieurs autres saillants et égaux deux à deux, ainsi que du déplacement, en une succession d'autres suffisamment faibles.

II. Maintenant notre théorème se confond avec celui du n« 169.

L'angle ainsi uniforme dont tourne une droite quelconque d'origine O dans le plan mobile, se nomme en conséquence l'amplitude de la rotation de ce plan.

173. Une demi-droite pivotant sur un plan fixe autour de son origine et dans un sens giratoire constant, en même temps un plan

AMPLITUDE d'une KOTATIOX d'uN PLAN PIVOTANT. 69

mobile solidarisé avec elle (83, Ul), reviennent à leurs positions initiales après une rotation d'amplitude égale à l'angle replet. (Cf. 199, //,/.)

S'il s'agit d'une demi-droite partant de O'A' (fig. 26) et y revenant pour la première fois en tournant autour de O' dans le sens indicpié par la flèche dirigée de haut en bas, soient O'B' le second côté d'un angle saillant queleonciue porté dans ce sens à partir de O'A', puis B'O'a' son opposé par le côté O'B' (170), a'O'b' son opposé au sommet, et b'O'k' son opposé par le côté O'A'. La demi-droite en question décrit successivement les angles A'O'B', B'O'n', a'O b', 6'0'A'. Or les sommes des deux premiers et des deux derniers étant toutes deux égales à l'angle neutre (170, I), leur somme totale est bien l'angle replet, double de l'angle neutre.

Une pareille rotation et son amplitude sont très remarquables en Géométrie et surtout en Cinématique ; on leur a donné le nom commun de une révolution ou bien encore un tour. Il est clair que des rotations de sens quelconques et d'amplitudes égales à des nombres entiers de tours, sont capables, mais elles seules, de ramener à leurs positions initiales, la demi-droite et le plan mobiles considérés.

Un demi-tour est une rotation d'amplitude égale à l'angle neutre, moitié de l'angle replet. (Cf. 188, inf.)

174. Un très grand rôle est joué dans la mesure pratique des angles par cette amplitude du tour. On l'a divisée en 360 parties égales dites degrés ("), le degré en 60 minutes ('), la minute en 60 secondes ("), et l'amplitude d'un angle ou d'une rotation quelconques s'indique par le nombre de degrés, minutes, secondes et fractions décimales de secondes qui y sont contenus.

Par exemple, l'amplitude de tour étant 360% celle de l'angle neutre (un demi-tour) est 360' : 2 = 180\

Cet usage doit se rattacher à l'emploi du cercle pour la mesure pratique des angles iChap. XVII et XX, inf.) et a été sans doute adopté par ce qu'il donne des nombres entiers de degrés pour mesures des angles au centre des polygones réguliers les plus intéressants (Chap. XXI, inf.). Il complique beaucoup la supputation des angles, à cause de son désaccord avec le système général de la numération décimale. Il est de plus en jilus attaqué, et il est regrettable qu'il résiste aussi longtemps à la réforme générale des mesures ph3'siques, opérée par l'institution du système métrique décimal.

175. De même que pour des segments rectilignes dirigés qui sont placés sur une même droite (135 ctsuiv.), il est souvent très commode d'attribuer des anipUtndes algébriques à des angles dirigés (167), quand ils sont places dans un même plan, ayant un même point fixe de celui-ci, ou pôle, pour sommet commun.

A cet effet, et une fois pour toutes, on choisit l'un des deux sens de rotation autour du pôle, sens que l'on nomme poszïf/" (le sens opposé est dit négatif), et VampUtiide algébrique de chaque angle se forme en prenant son amplitude absolue (163, V), positivement, si sa direction est identique au sens positif, négativement, si elle est contraire à ce sens.

Ces conventions faites, les propositions I, II, III du n' 135 s'étendront immédiatement aux angles de ce genre, moyennant ce que nous avons dit aux n^^ 163, 164, et sauf des changements évidents à opérer dans quelques mots.

(On prend volontiers pour sens de rotation positif le sens direct, savoir celui qui est contraire au sens de la rotation naturelle autour de leur pivot, des aiguilles d'une montre dont le fond serait posé sur la face du plan des angles que l'on regarde. De notre hémisphère, nous voyons s'etYectuer dans ce sens direct, les mouvements propres du soleil et de la lune.)

176. La position, dans un plan donné, d'une demi-droite OA (fig. 33), ayant pour origine un pôle O de ce plan et pouvant pivoter autour de lui, est exactement déterminée dès que l'on a choisi un sens de rotation positif autour de ce pôle et que l'on connaît l'amplitude algébrique (175> de l'angle dirigé XOA, ayant pour second côté cette demi-droite OA, pour premier côté OX, demi-droite du même genre, mais fixe et choisie une fois pour toutes. La demi-droite OX se nomme l'axe polaire ou origine des angles, et l'amplitude algébrique de l'angle XOA, coordonnée angulaire de son second côté OA, l'angle polaire de cette demi-droite. Selon que cet angle polaire augmente ou diminue (algébriquement), la demi-droite OA tourne autour du pôle O dans le sens positif ou dans le sens négatif.

A chaque angle polaire ne correspond qu'une demi-droite OA, mais à chaque demi-droite 0.\ correspondent inversement une infinité d'angles polaires différents, savoir, l'un d'eux choisi arbitrairement et tous ceux que l'on obtient en ajoutant à celui-ci le produit de 360", amplitude du tour, par un nombre entier positif ou négatif quelconque (173). Aux angles polaires ..., - 360«, 0», 4-360°, ... et ..., —180», -I- 180", . ... correspondent l'axe polaire et la demi-droite opposée.

177. Nous allons étendre à des angles rectilignes non nuls, ni neutres, mais saillants, situés dans un même plan et ne pouvant que se mouvoir indéfiniment sur lui, les notions topographiques indiquées très brièvement au n° 132 pour des segments non nuls considérés sur une même droite.

I. 5/ A'O'B', A"0"B" (fig. 34) sont les positions dans lesquelles un même angle mobile de ce genre AOB a été placé par l'adduction successive de quelqu'un de ses côtés OA dans les positions O'A', 0"A" situées sur une même droite ^^ et dans une même direction de celle-ci choisie à volonté (nous la dirons élue), les positions correspondantes O'B', 0"B" de l'autre côté OB sont toujours d'un même côté de cl).

De quelque manière que l'on amène la demi-droite OA en O'^^", l'angle AOB solidarisé avec elle viendra toujours en A"0"B"