ANGLES HOMOTAXIQUKS, ETC., DANS UN MÊME FLAN

(33), (24) ; nous l'amènerons donc en O'A', puis de là en 0"A" par une translation égale et parallèle à O'O" (142), ce qui est possible à cause de l'identité supposée des directions O'A', 0"A" (32, III). Or la translation connexe de la figure plane .\0B laisse sa demi-droite OH sans cesse dans un même demi-plan fixe d'arête ^l^ (78). Donc O'B', sa position initiale, et 0"B", sa position finale, sont toutes deux dans ce demi-plan, c'est-à-dire d'un même côté de A..

II. Si A"'0'"B"' (fig. 35) est une troisième position du même angle AOB, dans laquelle a pris la direction élue sur la droite -.1,, non plus son côté OA, mais, en 0"'B"', l'autre OB {dont la notation se déduit de OA par la permutation des deux lettres A, B affectées aux côtés de l'angle), les autres côtés O'B', 0"'A'" de la première et de cette troisième positions sont au contraire de part et d'autre de X.

En faisant pivoter AOB amené d'abord en A'O'B', autour de son sommet O fixé en O', d'un angle égal à l'angle dirigé A'O'B', mais en sens contraire, son côté OB vient de O'B' en O'fi' confondu avec O'A' sur ciU dans la direction élue, et son côté OA vient de O'A' en O'a', ayant tourné dans le même sens de l'angle B'O'A' (172). Les angles A'O'B', [i'O'a' étant portés dans des directions opposées à partir de la même demi-droite, étant de plus égaux à AOB, saillants par suite, leurs seconds côtés O'B', O'a' sont respectivement dans les demi-plans opposés d'arête commune cÀs. Mais O'a' est dans le même demi-plan que 0"'A"' parce que a'0'(3', A"'0"'B"' sont deux positions de l'angle AOB, dans lesquelles son côté OB occupe sur A les positions 0'8', 0'"B"' offrant la direction élue (I) ; donc O'B', de l'autre côté de cl. que O'a' placé du même côté que 0"'A"', est aussi d'un autre côté que 0"'A'".

178. De tout ce qui précède il résulte que si entre les côtés de deux angles A,0,Bi, A2O0B2, on a établi la correspondance indiquée par ces notations, et si l'on vient à placer deux côtés correspondants sur une même droite quelconque, dans des directions identiques, [c'est-à-dire à rendre ces côtés homotaxiques sur une même droite (132)], leurs autres côtés se placeront toujours, soit d'un même côté de cette droite, soit de part et d'autre d'elle.

Nous formulerons l'une ou l'autre de ces relations topographiques, en disant que les angles considérés sont homotaxiques dans le premier cas, cuititaxiques dans le second.

I. Si les angles A,0,B,, A^O.^Bj sont supcrpùsables (par glissement sur leur plan commun), ils sont homotaxiques. Car leur superposition applique 0,A, sur OgAj, c'est-à-dire dans sa direction sur la droite OjAj, et 0,Bj sur O.jBg, c'est-à-dire d'un même côté que lui par rapport à cette droite.

II. Il est évident que deux angles sont homotaxiques ou anti-

taxiqiics, selon que leurs relations à un même troisième sont identiques on différentes.

III. La relation des angles A,0,B,, A.^O^B.j est toujours contraire à celle de A, 0,13, o B.^OjAj ; en d'autres termes, on change la relation de deux angles, quand, dans la notation d'un seul d'entre eux, on permute celles de ses côtés.

Car B2O2A2 toujours antitaxique à A^OoEg (177, II), sera antitaxique aussi à AïO^B,, s'il y a homotaxie entre A,OjBi et A2O.2B2, mais homotaxique, s'il y a antitaxie entre ces derniers (II).

IV. Si, sur une même droite, mais dans des directions opposées, on place en 0',A',, O'^A'j des cùlés liomologues de deux angles AjO|Bj, A2O2B2, les positions sinudtances 0',B'|, O^^B'g de leurs autres côtés sont de part et d'autre de cette droite ou bien d'un même côté, selon que ces angles sont tiomotaxiques ou antitaxiques.

Car le prolongement 0',a', de 0',A'i donne l'angle a'jO',B', antitaxique à A'^D'iB'^ (180, inf.), par suite (II) antitaxique aussi à A'20'2B'2 dans le premier cas, mais homotaxique dans le second. Or 0\<x\ et O'gA', sont maintenant dans des directions identiques.

179. Comme la superposition de côtés correspondants de deux angles place leurs autres côtés, par rapport à celui devenu commun, dans des demi-plans identiques ou opposés selon que ces angles sont homotaxiques ou antitaxiques, ceux-ci prennent des directions giratoires (166) qui sont identiques dans le premier cas, opposées dans le second.

Pour que deux angles (dirigés) soient superposables par simple glissement sur un plan, il faut donc non seulement que leurs amplitudes soient égales, mais encore qu'ils soient homotaxiques.

Dans un même plan, à cause de cela encore, on dit identiques entre elles, les directions de lous les angles saillants de sommets quelconques qui sont homotaxiques, et celles des angles quelconques ayant mêmes sommets et directions que ceux-ci; on dit opposée, celle, ainsi commune, de lous les angles saillants qui sont antitaxiques cmx premiers et des angles quelconques dirigés comme ceux-ci autour des mêmes sonmwts.

A ces deux directions d'angles, correspondent les deux sens giratoires opposés que l'on peut concevoir sur un même plan. (Cf.