ANGLES IIOMOTAXIQL'ES, ETC., DANS UN MÈMK I LAN

II. Deux angles opposés an sommet, comme AOB, A,OB,, sont homota.vi(/nes. Car l'un et l'autre sont antitaxiques à AjOB, par exemple (I), (178, II).

181. A part quelques rares angles rentrants rencontrés quelquefois, les angles saillants sont ceux dont la considération est la plus fréquente en Géométrie pure, et cela de beaucoup; sauf spécification du contraire, nous supposerons donc tous saillants, ceux auxquels nos notations s'appliqueront désormais.

L'expression angle de deux droites (concourantes) se rencontre à chaque instant; elle s'applique à tel des angles saillants jumeaux (170) de deux demi-droites découpées sur les droites considérées par leur intersection, que les circonstances de la question auront précisé implicitement, presque jamais à un angle rentrant.

D'une observation faite antérieurement (Ibid. Il), il résulte que deux assemblages de droites, formés en adjoignant à deux angles égaux les prolongements de leurs côtés, peuvent être appliqués l'un sur l'autre de quatre manières différentes. Car l'angle générateur du premier assemblage peut être appliqué de deux manières sur son égal dans le second (162), puis de deux manières encore sur l'opposé au sommet de celui-ci.

Angles à côtés parallèles.

182. Quand les côtés d'un angle rectiligne AOB sont respectivement parallèles à ceux d'un autre A'O'B', ces angles sont égaux si ces parallélismes sont tous deux directs ou tous deux inverses ; mais ils sont supplémentaires, quand l'un des parallélismes est direct, l'autre inverse (170, I).

Prenant la droite 00' pour glissière, nous imprimerons au premier angle une translation amenant son sommet O en O', sommet du second (38, I).

I. Si les côtés de AOB sont tous deux directement parallèles à ceux de A'O'B', ils coïncideront respectivement avec ceux-ci après la translation (79), et nos angles sont égaux.

II. S'ils le sont tous deux inversement, le premier angle s'appliquera sur l'opposé au sommet du second et sera encore égal à celui-ci (170, II).

III. Si deux côtés sont parallèles directement, mais les autres inversement, les angles, après la translation du premier, seront opposés par un côté, partant supplémentaires (170, I).

183. Cette proposition est la seconde de celles qu'au no 146 nous disions supporter toute la Géométrie. Elle conduit à considérer comme identiques, les directions de toutes les demi-

74 ANGLES RECTIIJGNES ET DIÈDRES.

droites de l'espace qui sont directement parallèles, comme opposées, celles de deux demi-droites inversement parallèles, et à nommer angle de deux demi-droites quelconques, l'angle invariable formé ainsi par deux demi-droites qui leur sont directement parallèles en ayant pour origine commune un point arbitraire.

Elle conduit encore à considérer comme de directions giratoires, soit identiques, soit opposées, deux angles dont les plans sont parallèles, et qu'une translation place dans un même plan, en homotaxie dans le premier cas, en antitaxie dans le second (178), (179).

184. On en applique à chaque instant les cas particuliers que nous allons énumérer.

Deux droites parallèles AOB, A'O'B' (fîg. 36), coupées par' une sécante KOO'K', montrent huit angles que l'on dénomme et dont on spécifie les positions relatives comme il suit.

Deux angles tels que AOK' A'O'K', dont les côtés OK', O'K', sont des demi-droites de même direction prises sur la sécante à partir de ses traces O, O', et dont les autres côtés OA, O'A' sont pris sur les parallèles à partir des mêmes traces, de manière à être parallèles directement, à tomber par suite dans un même des deux demi-plans découpés par la sécante dans le plan de la figure, sont dits corresi)ondants.

Un angle tel que AOK', dont le côté OK' pris sur la sécante rencontre la parallèle à son autre coté, est dit interne. Quand le côté dont il s'agit ne rencontre pas la parallèle à l'autre côté, l'angle est dit externe ; tel est l'angle AOK.

Un angle interne et l'opposé au sommet (également interne) de son correspondant sont dits alternes-internes; Ex : AOK', B'O'K.

Les opposés au sommet de deux alternes-internes sont alternesexternes : tels sont BOK, A'O'K'.

Enfin, deux angles dont les côtés empruntés aux parallèles tombent dans un même des deux demi-phins découpés par la sécante, sont dits intérieurs (relativement) s'ils sont tous deux internes, comme AOK', A'O'K, extérieurs s'ils sont tous deux externes, comme AOK, A'O'K'.

Cela posé :

Deux angles correspondants, ou alternes-internes, ou alternesexternes, sont égaux.

Dcu.v angles, soit intérieurs, soit extérieurs, sont supplémentaires.

On établit immédiatement ces divers points, en remarquant que les angles considérés ont toujours leurs côtés parallèles, tantôt directement, tantôt inversement, puis en appliquant le théorème général du n° 182.

ANGLES A CÔTÉS PARALLr.LES. '5

185. Réciproquement, deux droites AOB, A'O'B' (fig. 36) sont pandlèles si, combinées avec une sécante commune KOO'K', elles montrent deux angles présentant en même temps, et l'une des dispositions relatives énumérées ci-dessus, et la relation de grandeur que le théorème précédent formule pour cette disposition.

Si, par exemple, les an<^les AOK', A'O'K', présentant la disposition de correspondants, sont égaux, de l'origine O on mènera une demi-droite OA, directement parallèle à O'A', puis, en s'appuyant sur le théorème précédent, on raisonnera comme au n" 170, III ; et de même dans les autres cas.

Angle droit.

186. Tous les angles saillants qui sont formés chacun par deux côtés perpendiculaires iQ^) sont égaux.

Deux droites perpendiculaires AOA', BOB' (fig. 37) découpent leur plan en quatre angles saillants tous égaux entre eux. Car si l'on fait tourner le (lemi-])lan I^OB'A autour de son arête BOB' prise pour axe, jusqu'à ce qu'il s'applique sur si5n opi)osé BÔB A' (84, IV, V), OA se mouvant dans le plan que l'on peut mener par elle perpendiculairement à cet axe (86), viendra en une position toujours perpendiculaire à OB, partant identique à OA', puisqu'en un même point d'une droite et dans un même plan, on ne peut lui élever qu'une seule perpendiculaire. Les angles adjacents AOB, A'OB sont donc égaux, et les deux autres A'OB', AOB' sont égaux à ceux-ci, entre eux par conséquent, soit pour la même raison, soit parce qu'ils sont leurs opposés au sommet (170).

Le surplus de notre proposition résulte du n° 96.

On nomme angle droit, l'angle saillant d'amplitude invariable, qui est ainsi compris entre des côtés perpendiculaires. Chacun des quatre angles ci-dessus AOB,... est donc un angle droit.

187. Deux assemblages formés chacun par deux droites perpendiculaires peuvent être appliqués l'un sur l'autre de huit manières.

Car un des angles droits découpés par l'un dans son plan peut être appliqué de deux manières sur chacun des quatre que l'autre découpe semblablement dans le sien (162), (186).

II est évident par là, que deux angles droits sont toujours égaux à deux angles jumeaux (170).

188. L'angle droit est la moitié de l'angle neutre (161), le quart de l'angle replet (163, II) ; par suite, il est de 180° : 2 =: 360o : 4 — 90'^ (174). C'est ce que rend é\Hdent la décomposition d'un angle

76 ANGLES RECTILIGXES ET DIÈDRES.

neutre AOA' (fig. 37) en deux angles droits, par une demi-droite OB élevée par O dans un plan quelconque, perpendiculairement à la droite AOA'.

Il y a ainsi identité entre la propriété relative de deux angles d'être supplémentaires (170, I) et celle de fournir une somme égale à deux droits, entre cette autre d'être replémentaires et celle de donner une somme égale à quatre droits.

D'après tout ceci, un angle saillant, évidemment inférieur à l'angle neutre, est plus petit que deux droits, et un angle rentrant, évidemment compris entre l'angle neutre et l'angle replet, est plus grand que deux droits, mais plus petit que quatre droits.

189. Un angle saillant est aigu quand il est inférieur à un droit, obtus quand il lui est supérieur.

Quand deux angles (nécessairement aigus) ont leur somme égale à un droit, on les nomme complémentaires, et chacun encore, le complément de l'autre. Tels sont ceux DOA, DOB {fig. 37), en lesquels un angle droit est décomposé par une demi-droite intérieure quelconque OD.

Les côtés libres OA, OB (fig. 37) de deux angles complémentaires AOD, DOB placés en adjacence extérieure (163, 1) sont perpendiculaires l'un à l'autre. Raisonnement des n°^ 170, III et 185.

Le supplément d'un angle aigu est obtus (188), et inversement.

190. Quand deux angles (saillants) AjO,B,, A^OgBa sont situés dans un même plan, et que les côtés de l'un sont respectivement perpendiculaires à leurs correspondants dans l'autre (178), ils sont égaux ou supplémentaires (170, I) selon qu'il y a entre eux homotaxie ou antitaxie (178).

I. S'il s'agit de pareils angles ayant un même sommet et homotaxiques, tels que A,OB,, A^OB'., (fig- 38), nous imprimerons au premier, autour de O, la rotation (l'ami)litudc égale à un droit, qui amène son côté OAj sur la demi-droite perpendiculaire OAj. Son autre côté OB, qui tourne simultanément d'un angle droit aussi (172) viendra sur la droite B'20B"2 perpendiculaire à sa position initiale, et cela non en OB".,, mais en OB'2, parce que les angles considérés sont homotaxiques. Leur complète superposition est donc réalisée.

II. S'il s'agit d'angles de ce genre, mais antitaxiques, A,OB,, A.,0B"2, considérons l'angle A^OB'o compris entre un côté OA2 du second et le prolongement OB'o de l'autre côté. Ce nouvel angle étant antitaxiquc à \0B"^ (180) est homotaxique à son antitaxique A,OBj (178, II), partant égal (I), puisqu'il y a toujours perpendicularité entre les côtés correspondants. L'angle AjOB'^^ supplémentaire à A20B'2 (170, I) l'est donc aussi à son .égal A,OB,.

ANGLES A CÔTÉS PERPEXDICULAIRIiS, DANS UN PLAN. 77

III. Le cas {*énéral se ramène immédiatement à ce qui précède; car, en menant par le sommet O, du [)remier anj>le les demidroites 0,A'.j,0,B'.j directement parallèles aux côtés du second, on forme l'an^i^le A'./JjB'^ éi^al à A^O.^H.^, en outre homotaxlcpie, puisqu'une simple translation dans leur plan commun peut les superposer (182, I), (99).

191. La disposition étudiée dans l'alinéa II du numéro précédent se présente toujours, avec ses conséquences, ([uand, relativement à chaque côté d'un angle (et à son prolongement), la demi-droite perpendiculaire à ce côté et l'autre côté du même angle tombent dans un môme demi-plan. Soient, en effet, OA,, OB''.^ (fig. 38) perpendiculaires à OA,, OB,, placées en outre des mêmes côtés que 0B[, OA, par rapport aux droites OA,, OB,, et. pour fixer les idées, supposons aigu l'angle A,OB,. La demi-droite OB, est intérieure à l'angle droit A,OA., parce que, par hypothèse, elle fait avec OA,, et du même côté que OA^, un angle A,OB, plus petit que l'angle droit : pour des causes semblables, OA, est intérieure à l'autre angle droit B,0B"2. En d'autres termes, les angles A^OB,, B,0A,, A,0B".2 sont tous aigus et extérieurs les uns aux autres ; de plus, A^OB''.^^, somme de A.^OA, et de AjOB''^, l'un droit, l'autre aigu, est obtus, saillant par suite. Les demi-droites OBj, OA,, 0B".3 tombent, toutes ainsi, d'un même côté de la droite OA^, et les angles A.,OB,, A,OA,, A.^0B"2 sont tous homotaxiques. L'angle A,OB, antitaxiquc à AjOB, évidemment, l'est donc aussi à A.,OB"., homotaxique à ce dernier. Quand l'angle A,OB, est obtus, le raisonnement est tout semblable.

Angles dièdres.

192. Deux demi-plans quelconques ayant une même droite pour arête commune, composent une figure que l'on nomme un angle dièdre, ou plus simplement un dièdre ; la droite est aussi Varète du dièdre, les demi-plans en sont les faces. On désigne un dièdre par quatre lettres affectées, les deux extrêmes aux faces, les deux autres à l'arête.

Dans les considérations du paragraphe commençant au n° 159, il suffit de remplacer les demi-droites et leurs origines par des demi-plans et leurs arêtes, les demi-plans par des demi-espaces, le plan servant de théâtre à la comparaison des angles rectilignes par l'espace indéfini, pour acquérir immédiatement les notions concernant l'intérieur et l'extérieur d'un dièdre saillant ou rentrant, ou nul, ou replet, ou neutre, concernant ensuite Vadjacence extérieure ou intérieure des dièdres, l'addition et la soustraction (géométriques) de ces nouvelles grandeurs et leur mesure, concernant encore les dièdres supplémentaires (et replé-

78 ANGLES RECTILIGXES ET DIÈDRES.

mentaires), les dièdres dirigés, opposés par une face ou à l'arête, les angles de deux plans concourants, Vhomotaxie, ou Vantitaxie de deux dièdres ayant des arêtes dirigées parallèles, etc., etc.

193. Cette acquisition se ferait tout aussi facilement par ce que nous allons dire, d'où nous tirerons l'extension de la suite.

I. Une translation d'un dièdre, exécutée parallèlement à son arête, ne fait que le réappliquer autrement sur lui-même. Car elle réapplique chaque face sur elle-même, et déplace aussi son intérieur à travers lui-même (78). (Cf. 143.)

II. Par conséquent, les points d'une droite parallèle à l'arête, ceux d'un demi-plan de même arête, sont, au dièdre, soit intérieurs, soit extérieurs, tous à la fois. (Cf. 143 ; 159, II.)

III. Sur tout plan sécant non parallèle ù son arête, un dièdre découpe, un angle rectiligne auquel et au dièdre, chaque point de ce plan est en même temps intérieur ou extérieur. (Cf. 143.)

IV. Sur deux plans sécants de ce genre, quand ils sont parallèles, le dièdre découpe deux angles rectilignes égaux en amplitude et de directions identiques (183). Car une certaine translation parallèle à l'arête, qui est évidente, superpose ces deux plans en réappliquant le dièdre sur lui-même (I). (Cf. 138, IV; 143.)

194. Uangle plan (ou rectiligne) d'un dièdre est sa section droite, c'est-à-dire sa trace, toujours de même amplitude (90), (193, IV), sur un plan perpendiculaire à son arête. (Cf. 144.) On le construit tout aussi bien, en élevant à l'arête du dièdre, en un même point et dans chacune de ses faces, des demi-droites perpendiculaires, car le plan de celles-ci l'est nécessairement aussi à l'arête en ce ]ioint (95).

Le rapport de deu.v dièdres est égal à celui de leurs angles plans. (Cf. 144.)

I. Quand deux dièdres sont égaux, leurs angles plans le sont aussi, et réciproquement.

Car la superposition des premiers établit le parallélisme des plans de leurs angles rectilignes, d'où l'égalité simultanée de ceux-ci (90), (193, IV).

Inversement, la superposition des angles rectilignes supposés égaux, superpose les perpendiculaires aux plans de ceux-ci, menées par leurs sommets, c'est-à-dire les arêtes des dièdres, et leurs faces par suite.

II. L'angle plan de la somme de plusieurs dièdres est aussi la somme des angles plans de ceux-ci.

Car si l'on juxtapose extérieurement les dièdres, ils traceront leurs rectilignes juxtaposés de la même manière (193, III) sur tout plan perpendiculaire à l'arête commune, et les faces extrêmes de la première somme tracent les côtés extrêmes de la seconde.

ANGLE PLAN D'uN DIÈDRE. 79

III. La démonstration s'achève ensuite comme celles dos nos 140 et autres, en considérant ici comme grandeurs correspondantes, tout dièdre et son angle plan.

195. De celle proijosition il résulte immédiatement que, si dans la mesure des dièdres, on a pris pour iinilé celui dont l'ang'e plan est égal à l'unité choisie pour mesurer les angles rectilignes, la mesure d'un dièdre quelconque s'exprimera par le même nombre que celle de son angle plan.

On s'arrange etrectivement ainsi, et jaiuais on n'indique l'amplitude d'un dièdre autrement que par celle de son angle plan, exprimée en degrés, minutes et secondes (174).

On remarquera que les deux manières de superposer deux angles rectilignes égaux (162) en donnent deux aussi pour deux dièdres égaux (194, I) ; mais chacun de ces modes est multiplié ensuite à l'infini par les translations de l'un de ces dièdres superposés, que l'on peut exécuter parallèlement à leur arête (193, 1).

196. Quand les faces d'un dièdre sont perpendiculaires, les côtés de son angle plan le sont aussi l'un à l'autre, et réciproquement.

Effectivement, un plan perpendiculaire à l'arête, l'est aussi à cliacune des faces, puisque toutes deux contiennent cette droite (107). Il coupe donc une face suivant une droite perpendiculaire à l'autre face, puisque ce plan, par construction, la première face, par hypothèse, sont tous deux perpendiculaires sur la seconde face (111). Cette droite, dont fait partie un côté de l'angle plan, est donc perpendiculaire sur l'autre côté du même angle, puisque ce côté est situé dans la seconde face, c'est-à-dire dans un plan perpendiculaire, comme nous venons de le voir, à la droite dont il s'agit (94). La réciproque est évidente.

En d'autres termes, tout dièdre dont les faces sont perpendiculaires, a pour angle plan, un angle droit (186).

Par suite (Ibid.), tous les dièdres de ce genre sont égaux (194, 1).

Un dièdre à faces perpendiculaires se nomme aussi un dièdre droit.

197. Les notions du n° 189 sur les angles rectilignes aigus ou obtus, complémentaires,... s'étendent d'elles-mêmes aux angles dièdres, ainsi que ce qui concerne les angles à côtés parallèles (182) ou perpendiculaires (190), (191).

198. Un angle rectiligne dont les côtés sont respectivement perpendiculaires aux faces d'un dièdre, est égal ou supplémentaire à ce dièdre (c'est-à-dire à son angle plan).

Car les côtés de l'angle rectiligne étant perpendiculaires aux Faces du dièdre, leur plan est perpendiculaire à ces faces (109), par suite à l'arête, intersection de ces dernières (111;; il trace

80 AXGLES RECÏILIGNES ET DIÈDRES.

donc sur ces faces l'angle plan du dièdre, dont les côtés sont ainsi perpendiculaires à ceux de l'angle rectiligne proposé. Comme ces angles sont tous deux dans ce plan, le théorème du no 190 leur est applicable.

199. Dans toute rotation d'une figure solide, deux demi-plans de cette figure qui ont l'axe pour arête commune, tournent d'angles égaux et de directions identiques.

On peut faire un raisonnement direct, imité de celui du n» 172, ou bien appliquer ce théorème en remarquant (84, V) que la rotation en question comporte le simple pivotement, dans son plan et autour de son sommet, de l'angle plan du dièdre des demi-plans considérés (83, 111), (194, I).

La valeur, commune ainsi, des angles dont se déplacent tous les demi-plans de l'espèce considérée, mesure Vamplitude de la rotation dont il s'agit.

Le dièdre replet (de 360") est l'amplitude du tour, ou révolution, c'est-à-dire de la moindre des rotations de sens constant qui ramènent la figure à sa position initiale (173).

200. L'intervention des angles plans des dièdres rend encore plus facile l'extension à de pareils anij;les, dirigés aussi, quand ils ont une même arête, à un demi-plan indéterminé mais ayant pour arête une droite fixe de l'espace, les considérations des n^^ 175, 176, concernant les angles rectilignes dirigés dans un même plan autour d'un même pôle, la détermination de la position d'une demi-droite par son angle polaire, etc.

Applications.

201. A partir d'une demi-droite donnée dans un plan, ou d'un demi-plan donné dans l'espace, et dans un sens donné, porter un angle égal à un angle rectiligne ou dièdre donné.

En théorie, c'est un problème qui n'olfre aucune difficulté, puisque nous savons, par la pensée, déplacer toute figure solide, appliquer, dans les conditions voulues, une de ses droites ou un de ses plans sur des figures similaires, garder l'empreinte idéale qu'elle laisse dans l'espace quand elle y a occupé telle ou telle position, etc.

Dans la pratique des arts de construction, il se pose à chaque instant, et on le résout par des procédés variés dont le plus usuel repose sur l'emploi de la sauterelle, qui est entre les mains de tous les menuisiers, charpentiers, etc. Cet instrument, tirant son nom de l'insecte dont les pattes postérieures rappellent sa forme, est ordinairement en bois, et se compose essentiellement de deux règles mobiles, comme les branches d'un compas, autour d'une articulation à frottement dur, dont l'axe est perpen-

diculaire à leurs faces planes secondaires; chacune de ces règles est taillée, tant à l'intérieur qu'à l'extérieur de la sauterelle, suivant deux faces planes principales, parallèles entre elles, mais perpendiculaires aux autres faces, parallèles par suite à l'axe de l'articulation. L'une des branches est traversée par une longue mortaise dans laquelle l'autre branche peut pénétrer, même se loger entièrement par la fermeture de l'instrument.

Grâce à la mobilité relative des branches de la sauterelle, on peut a[)pliquer exactement leurs faces principales intérieures ou extérieures, sur celles de tout angle dièdre saillant ou rentrant, puis, grâce à sa rigidité relative, présenter l'instrument de pareille manière à un autre dièdre de même sorte, soit pour vérifier son égalité au précédent, soit pour porter sur un plan l'angle rectiligne de celui-ci et y tracer au craj'on, dans les conditions voulues, la coupe d'une pièce à façonner.

Sur l'épure, le même problème se résout par des moyens indirects variés que nous ferons successivement connaître (216 bis, inf.), (Chap. XX, m/.). Quand on doit faire de nombreux reports d'un même angle plan, on emploie une équerre (63) dont on a taillé deux arêtes suivant cet angle, établi saillant ou rentrant (équerres à 90", utiles à tous les ouvriers; à 45°, employées par les menuisiers, etc.).

C'est ce qui arrive sur l'épure pour la construction suivante qui se présente à chaque instant.

202. Une droite et un point étant donnés dans un plan, mener par le second une droite perpendiculaire à la première.

Après avoir appliqué sur la droite donnée l'arête d'une règle ordinaire que l'on y maintient pressée, on applique encore sur cette arête, l'une des deux arêtes perpendiculaires d'une équerre à angle droit saillant (201) que l'on fait ensuite glisser sur le plan, toujours appuyée à la règle, jusqu'à ce que son autre arête vienne passer par le point donné. Ensuite on trace la perpendiculaire cherchée, le long, soit de cette arête, soit de celle (plus étendue) de la règle que l'on a déplacée pour la mettre en coïncidence avec elle. La perpendicularité des deux droites est assurée par le fait qu'elles se coupent sous un angle droit.

Ce tracé procure une vérification de l'équerre, car son angle droit doit pouvoir coïncider aussi avec l'un quelconque des jumeaux [ITO) de l'angle droit que l'on vient de construire (186).

203. Construire : I le supplément d'un angle saillant A,0,B, (170, I) ; II le complément d'un angle aigu A.2O.2B.2 (i89\

L On prolonge en 0,A'^ la demi-droite OjAi, et on prend

l'angle A'^OiB, (fig. 39).

II. Par le point O.^ et dans le demi-plan O2A.2B2, on élève à la

demi-droite C^Aj, la demi-droite perpendiculaire O2C2 (202) ; le complément cherché est l'angle CaO^B.^ {fig. 40).

204. Etant donnés une droite dirigée (D et un point I non situé sur elle (fig. 41), mener par ce point une droite IM coupant (0 sous un angle saillant donné 0, c'est-à-dire telle que l'angle formé par les directions cO et MI soit égal ci 0.

Par I je mène une demi-droite lA parallèle à la direction CÔ (79), (63 1, puis, dans le demi-plan d'arête TA qui ne contient pas la droite (0, je porte à partir de lA un angle Alm égal à 0 (201).

Si Ô était un angle nul ou neutre, la demi-droite \m, coïncidant alors avec lA ou son prolongement, serait parallèle à cD, ne la rencontrerait pas par suite (42), et le problème serait impossible.

Sinon, la droite Im non parallèle à CD la rencontre (67) au point cherché M ; car l'angle formé en M par les directions (0, MI est égal à Alm comme correspondant (184), à 0 par suite.

Si l'on donnait seulement la droite (0, sans spécifier une direction sur elle, le problème aurait deux solutions, sauf toutefois quand l'angle donné 0 est droit : alors, effectivement, les seconds côtés Im, Im' des angles droits à porter dans les sens voulus à partir de lA et de son prolongement lA', se confondraient tous deux sur la perpendiculaire élevée en I à AIA', dans le plan de la figure.