CHAPITRE VI

Polygones en général.

205. Une ligne brisée, ou chemin polygonal, est une figure formée par une suite de segments rectilignes (122 et siiiv.), dont deux consécutifs se soudent toujours par une extrémité commune; Ex. : ABCDE (fig. 42).

Les segments considérés AB, BC, CD, DE, (moins fréquemment les droites entières auxquelles ils ont été empruntés), sont les côtés de la ligne brisée. Leurs extrémités A, B, C, D, E sont ses sommets, les extrêmes A, E, se nommant aussi ses extrémités.

Les angles rectilignes compris entre deux côtés consécutifs

POLYGOXr.S IN GIÎNKUAL. 83

considérés dans les directions qui partent de leur soudure sont les angles proprement dits, ou intérieurs, de la ligne brisée; Kx. : BCD. Ceux formés par un côté contigu d'une telle direction et le prolongement de l'autre sont les angles extérieurs ; Ex. : BCI),. Ces définitions comportent une ambiguïté provenant de ce que deux angles (et même davantage) sont compris entre une même paire de demi-droites soudées en une origine commune ; mais nous la lèverons quand il sera nécessaire (209, inf.), (Cbap. VIII, inf.). En un même sommet d'une ligne brisée, ses angles intérieurs et extérieurs, pris tous deux saillants, sont supplémentaires (170, I). Un côté de la ligne brisée et un angle auquel il appartient, sont dits adjacents.

Il y a quelquefois à considérer les angles dièdres (192) d'une ligne brisée, savoir ceux dont chacun a pour arête quelque côté de cette ligne, et pour faces les demi-plans contenant les côtés contigus à celui-ci.

La longueur d'une ligne brisée est la somme de celles de ses côtés (129).

Une diagonale d'une ligne brisée est toute droite menée par deux sommets non consécutifs, assez souvent encore le segment rectiligne seulement qui a ces sommets pour extrémités.

Quand les sommets d'une ligne brisée sont tous situés dans un même plan, ses côtés et angles plans ij sont aussi, ses angles dièdres sont nuls ou neutres, et elle est plane. Sinon, on la dit gauche (22).

206. Selon que deux côtés d'une ligne brisée ont commun quelque point autre que leur soudure s"ils sont contigus, ou bien que cette irrégularité ne se présente pas, il nous sera commode de la nommer enchevêtrée dans le premier cas, déchevêtrée dans le second qui est le plus intéressant.

207. Un point décrit un chemin polygonal ABCDE {fig. 42) dans le sens constant allant de A à E, quand, dans des sens toujours constants (134), il décrit consécutivement ses côtés de A à B, de B à C, de C à D, de D à E ; et de même pour l'autre sens constant allant de E à A, dit opposé au précédent.

Quand la ligne est déchevètréc comme celle-ci, le point mobile ne revient jamais à une position précédemment occupée par lui, contrairement à ce qui se passe dans le cas d'enchevêtrement ou pour un polygone (208, inf.).

208. Une ligne brisée est ouverte quand ses extrémités sont des points distincts ; telle est ABCDE ifig. 42). Elle est fermée, quand ses extrémités coïncident comme pour la ligne ABCDEA (fig. 24) ; on la nomme plus volontiers un polygone, et on peut prendre alors pour extrémités de cette ligne, un quelconque de ses points, dédoublé par la pensée. La longueur de cette ligne

fermée (205), elle-même assez souvent, se nomme le périmètre du polygone.

Les sommets d'un polygone sont en même nombre que ses côtés; car, en concevant le poh'gone comme décrit par un point animé d'un mouvement de sens constant, chaque sommet est la première extrémité d'un côté et d'un seul. A cause de cela, on classe les polygones d'après les nombres de leurs sommets (ou côtés), et on nomme triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, ...,ceux qui en ont 3, 4, 5, 6, ...

Relations entre les cingles d'un même triangle.

209. Un triangle ayant ses sommets non en ligne droite, distincts par suite, appartient à la classe la plus simple des polygones déchevètrés (208), (206), car un polygone n'ayant que deux côtés, ou bien des sommets en ligne droite, est évidemment enchevêtré. Les triangles de cette sorte jouent un rôle capital en Géométrie, et nous n'en considérons que de tels, sauf mention du contraire, en commençant par remarquer que les sommets de chacun d'eux déterminent un plan unique, nommé plan du triangle.

Dans un triangle, l'ambiguïté signalée au no 205 se lève en faisant choix, pour chaque angle, de l'angle saillant que ses côtés comprennent, angle à l'intérieur duquel se trouve nécessairement le dernier côté. Cet angle et ce dernier côté sont dits opposés l'un à l'autre ; Ex. : l'angle A et le côté BC {fig. 43).

Pour angle extérieur, on prend en chaque sommet l'un ou l'autre des deux opposés à l'angle intérieur par les côtés de celui-ci, son supplément par conséquent (170, 1); Ex. : B'AB.

Les côtés et les angles d'un triangle se nomment plus spécialement ses éléments.

210. Dans tout triangle, la somme des angles extérieurs est égale à l'angle replet (161), c'est-à-dire à quatre droits (188).

Après avoir choisi sur le périmètre du triangle donné ABC (fig. 43), un des deux sens possibles de son parcours que nous marquerons par des flèches (207), nous prolongerons chaque côté dans le sens indiqué par sa flèche, et nous considérerons les angles extérieurs dont chacun tel que B'AC est compris entre un côté ABC et le prolongement AB' du jirécédent.

Deux quelconques de ces angles sont homotaxiques (178). Car B'AC', C'BA' par exemple, ont leurs côtés non homologues AC, BC dirigés dans le même sens sur une même droite AB, et leurs autres côtés AB', BA' placés de part et d'autre de celle-ci (Ibid., II, III). Il en est donc de même pour les angles respectivement égaux et homotaxiques à ceux-ci (Ibid., I),

RELATIONS EXTRI-: LES ANGLES d'UN TRL\NGLE. 85

(182), que forment dvux à deux les trois dciiii-droitcs OA,, OBi, 0('| menées par quekiuc même point O du phm du triangle, parallèlement aux direetions BC, CA, AB. Il en résulte évidemment que ces trois angles sont juxtaposés extérieurement les uns aux autres (163, II), et, comme en les considérant dans un ordre choisi arbitrairement, le premier est contigu, non seulement au second, mais au dernier encore, leur somme, c'està-dire celle des angles extérieurs du triangle, est bien égale à l'angle replet.

211. La somme des trois aiu/les intérieurs est égale A l'angle neutre, c'est-à-dire à deux droits (I881, et chaque angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs dont les sommets différent du sien.

I. En appelant A, B, C, comme d'usage, les trois angles intérieurs, puis a, [i, y, les angles extérieurs de mêmes sommets respectivement, et 2)^ l'angle neutre, on a (170, I) ;

(1) A + a = Tk,, B + ^=dT,, C + Y = ^^.

d'où, en ajoutant membre à membre,

(A + B-fC) + (a-f p-fY) = 3ro.

Mais on a aussi

l'égalité précédente conduit donc bien à

A + B + C = 30b - (a -^ 8 + y) = 3 Jb — 2)b = ^.