II. La relation ci-dessus donnant par exemple

B + C = ^b — A, et la première des égalités (1) donnant aussi

a ^ Jb — A, on a bien, puis de même,

212. Le cas d'un triangle enchevêtré, à prendre eu considération quelquefois, donne ouverture à des conventions variées qui peuvent être utiles. Si, par exemple, les trois sommets sont distincts mais en ligne droite, on peut dire que deux angles sont nuls, l'autre neutre ; si deux sommets se confondent, l'autre restant distinct de ceux-ci, le triangle aura deux angles supplémentaires, le troisième nul; etc.

213. Le théorème du n° 210 subsiste pour tous les polygones plans et convexes (Chap. VIII, inf.}, et la première partie de celui du no 211 est renfermée dans un autre s'appliquant à tous les polygones déchevêtrés [Ibid.'). En vertu de cette dernière, an triangle quelconque a au plus un angle obtus ou droit, et au moins deux angles aigus (189).

La présente observation a une conséquence très utile à noter :

Quand un angle saillant AOB n'est pas droit, le pied P de la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque M d'un côté OB sur la droite de l'autre côté OA, tombe sur ce côté OA lui-même, on sur son prolongement, selon que l'angle AOB est aigu ou oblus. Car le triangle OPM ayant un angle droit en P, ses deux autres angles en 0 et en M, le premier en particulier, sont forcément aigus.

Même chose a lieu dans un dièdre non droit, pour le pied de la perpendiculaire abaissée d'un point M d'une face sur le plan de l'autre face ; la constatation se ramène immédiatement à la précédente par l'intervention de l'angle plan résultant de la section du dièdre par un plan issu de M perpendiculairement à l'arête (194), (197).

Premières relations entre les triangles éqaiangles. — Premiers cas ciégalité des triangles.

214. Nous dirons que deux triangles sont équiangles, quand les trois angles de chacun sont respectivement égaux à ceux de l'autre. Dans deux triangles de ce genre, on nomme homologues deux angles égaux dans l'un et dans l'autre, ainsi que leurs sommets et les côtés qui sont opposés à des sommets homologues.

Quand deux triangles ont seulement deux angles égaux chacun à chacun, ils sont équiangles, et les côtés de chaque triangle sont proportionnels ci leurs homologues dans l'autre.

Soient ABC, A'B'C (fig. 44) les deux triangles considérés, où l'on a par hypothèse, B := B', C = C