FIGURES HOMOTAXIQUES, ETC., DANS UN MÊME PLAN

la permutation de B^ avec C,, par exemple, change la relation des angles BiA,C,, B^A.A (Ibid., 111).

II. La relation entre les mêmes triangles n'est pas modifiée par une permutation circulaire des trois lettres affectées à la notation d'un seul d'entre eux. Car le changement de A2B.2C2 en BjC^Ag par exemple, peut s'opérer en permutant d'abord A^ avec C^ puis C2 avec Bj, ce qui, chaque fois, change la relation des triangles (I).

III. En déplaçant deux triangles homotaxiques dans leur plan commun, de manière à placer deux côtés homologues en homotaxie sur une même droite (132), /<'.s- sonunets opposés (i ces côtés se placent d'un même côté de cette droite.

Etc.

218. Deux figures, dans un même plan, étant composées de points se correspondant deux à deux, nous dirons encore qu'elles sont homotaxiques ou antilaxiques, selon qu'il y a toujours homotaxie ou toujours antitaxie entre un triangle ayant pour sommets trois points quelconques de l'une (non en ligne droite) et le triangle correspondant dans l'autre (217).

219. En outre, et d'une manière générale, nous dirons isomères deux figures quelconques de points se correspondant deux à deux, dans l'une desquelles les segments rectilignes, les angles plans, les angles diè(h-es (figures élémentaires pouvant chacune être superposée à elle-même d'une seconde manière), sont égaux à leurs correspondants dans l'autre.

Cela posé, et en revenant à deux figures situées dans un même plan, il ne suflit pas qu'elles soient isomères pour qu'il soit possible de les superposer par déplacement sur ce plan, il faut évidemment encore qu'elles soient homotaxiques (179) ; mais cette condition complémentaire est suffisante. Si, en cfiet, on fait glisser la première jusqu'à ce que deux de ses points (non identiques) A^, B, s'appliquent à la fois sur leurs homologues Aj, Bj, ce qui est possible puisque l'isomérie supposée comporte A,Bi =: A2B2 (118), et si Cj, Cj constituent une troisième paire de points homologues, le premier C, s'appliquera simultanément sur le second C2. Les seconds côtés des angles BiA,C,, A,B,C,, qui (supposés distincts) se coupent en Cj, s'appliqueront effectivement sur ceux de B2A2C2, AjBjCj qui se coupent en Co, à cause de l'homotaxie de ces angles et de l'égalité de leurs amplitudes (178). Et de même pour toute autre paire de points homologues.

Au n'^ 216, nous avons conclu l'égalité de deux triangles de simples isoméries partielles concernant telles ou telles combinaisons de trois de leurs éléments, et les considérations topographiques ci-dessus discutées ne sont pas intervenues;

mais il ne faut pas oublier qu'alors, nous laissions aux mouvements de ces triangles une liberté indéfinie dans l'espace, non pas, comme ici, celle seulement de glisser sur un plan fixe.

220. Deux triangles AjB,Ci, AoB^C, ayant leurs côtés homologues perpendiculaires sont homotaxiques. de plus équiangles.

Car si les angles du premier étaient, à ceux du second, antitaxiques, par suite supplémentaires, puisque les côtés des uns sont perpendiculaires à ceux des autres (190), leur somme (OL — A^) + ( Jb — Bj) + (Jb — Cj) == 3 Ob — (A2 4- B2 + C2) = 2 3)^ (211), ne serait pas égale à l'angle neutre. Ils leur sont donc homotaxiques, égaux par suite (190).

Relation entre les côtés criin triangle et la projection de l'an d'eux sur un autre.

221. Un triangle ABC (fig. 46) étant donné, si, par un de ses sommets A, et dans le demi-plan ABC, on mène une demi-droite faisant avec ce côté AB un angle égal à l'angle C opposé à celui-ci, cette demi-droite rencontrera certainement la demidroite BC en quelque point A' (216 ter), car la somme de l'angle ainsi porté et de l'angle B est C + B:=2 droits — A (211), partant < 2 droits; en outre, l'angle BA'A et l'angle A du triangle proposé sont égaux, parce qu'ils ont pour suppléments \Ibid.) les sommes BAA' + B, C -|- B qui sont égales à cause de l'identité de leurs derniers termes et de l'égalité des premiers.

Par le même sommet A, on peut pareillement mener jusqu'en quelque point A" de la demi-droite CB, une demi-droite AA" faisant avec AC, et dans le demi-plan ACB, un angle CAA" égal à l'angle B, rendant en même temps l'angle CA"A égal encore au même angle A.

Selon que l'angle considéré A est obtus, droit ou aigu, les points A', A" offrent sur le côté BC, des dispositions qu'il importe de distinguer.

Quand l'angle A est obtus, comme dans la figure, son égal BA'A l'est aussi, et le pied I de la perpendiculaire abaissée de A sur BC tombe sur la demi-droite opposée à A'B (213) ; par suite, A' est intérieur au segment BI, et, pour la même raison, A" se trouve entre C et I. Les segments BA', CA" n'empiètent donc pas l'un sur l'autre (ceci voulant dire qu'aucun point de la droite BC ne peut être intérieur à tous deux à la fois), et les directions BC, A'A" sont identiques.

Quand A est aigu, un raisonnement semblable montrera que

RELATION ENTRE LES CÔTÉS d'uN TRIANGLE, ETC. 93

les scgniciils BA', CA" empiètent l'un sur l'autre (de la longueur du segment A'A") et que les directions BC, A'A" sont opposées.

Quand enfin cet angle est droit, les droites AA', AA" se confondent avec la perpendiculaire AI, les points A', A" avec le pied I de celle-ci, et le segment A'A" est nul.

222. Tout cela posé, on a le théorème suivant : En représentant par a, b, c, pour abréger, les côtés BC, CA, AB respectivement opposés aux angles A, B, C du triangle considéré, on a la première des relations alternatives

quand l'angle A est obtus, la deuxième quand il est aigu, la troisième quand il est droit.

I. Les triangles BA'A, BA(^ étant équiangles, puisque, des deux angles BAA', B du premier, l'un a été l'ait égal, l'autre est identique, aux angles C, B du second, respectivement, la proportionnalité de leurs côtés homologues donne (214)

BA BA' BG — JâÂ"' d'où