CA" = CB.CA
Maintenant, l'addition membre à membre des deux dernières égalités donnera
Câ' + Ba' = BC (CA" + BA'), c'est-à-dire
(4) 62+c2 = a(BA' + CA").
II. Quand l'angle A est obtus, comme dans la figure, nous avons vu (221) que les segments BA', CA" n'empiètent pas l'un sur l'autre. On en conclut
BA' + CA" = BC — A'A" = a — A'A",
d'où la première des relations (1), par substitution de cette sonmie au dernier facteur du second membre de l'égalité (4).
Si A est un angle aigu, l'empiétement mutuel des segments BA', CA" donne BA' + CA" = BC + A'A" = a + A'A", d'où la seconde des relations alternatives considérées.
Si, enfin, l'angle A est droit, on a A'A" := 0 et aussi CA' + BA" = BG ;= a, parce que les extrémités A', A" de nos segments se confondent ; d'où la dernière des relations (1).
223. En représentant par g la longueur algébrique du segment A'A" relativement à la direction positive BG de cet axe (135), les trois formules (1) s'écriront uniformément
Cl' = h^ + C2 + OT.
224. Dans le même triangle ABG {fig. 46), si l'on nomme y la projection (orthogonale) AJ de l'an des côtés de l'angle A, c par exemple, sur l'autre côté b (151), on a les relations alternatives
( +2 /'Y, (5) a- = b'' + C' -2by,
selon que l'angle A est oblus, aigu ou droit.
Gomme nous l'avons vu implicitement, le pied I de la perpendiculaire abaissée de A sur BG tombe à l'intérieur du segment A'A", et les triangles AIA', AIA" sont en outre équiangles (214), parce que les angles A', A'IA du premier sont respectivement égaux aux angles A", A"IA du second (les derniers comme droits). Ils sont donc égaux, puisqu'ils ont le côté commun lA; d'où LV:=IA", puis À'A" = 2 LV. (Cf. 237, inf.)
Si maintenant l'angle A est obtus, comme dans la figure, l'angle JAB est le supplément de l'angle A (213). Les triangles A'IA, AJB ayant égaux leurs angles droits en I et en J, ainsi que leurs angles lA'A, JAB, suppléments des angles égaux BA'A, BAG, sont équiangles (214), et la proportionnalité de leurs côtés homologues donne
IA^IA JÂ"" JB*
Mais celle des côtés des triangles GIA, GJB qui sont encore équiangles comme ayant l'angle G commun et leurs angles en I et J droits, partant égaux, donne encore
IA AG JB~ BG' On en conclut
c'est-à-dire
lA'
AG
JA
