BG

lA'

RELATION ENTUE LES COTÉS d'UN TUIANGLE, ETC. 95

puis

ou bien

substitution changeant la première des relations (1) en la première (lu groupe (5).

Quand cet angle est aigu, la démonstration est la même, à cela près que l'égalité des angles lA'A, JAB a lieu par construction môme.

Quand enfin il est droit, cas où JA = 0, la dernière relation du groupe (5) est immédiatement fournie par celle du groupe (1).

225. En faisant de la droite indéfinie AC nn axe de direction positive AC (135), la longnenr algélirique dn segment dirigé AJ est négative, positive ou nulle, selon que l'angle A est obtus, aigu ou droit (213). Si donc on représente actuellement par y '^ longueur, non plus absolue, mais algébrique de ce segment, les trois relations (5) seront renfermées dans cette seule-ci

(6) a3 =■ ^2 ( c2 2 by. (Cf. 249, inf.)

Triangles rectangles.

226. Un triangle ABC (fig. 47) est rectangle en A, quand, en ce sommet, il a un angle droit.

Les deux mitres angles B, C ont donc une somme égale à un angle droit, ou bien sont complémenUdres (189), puisque la somme de l'angle droit et de ceux-ci est égale à deux droits (211); chacun d'eux, ainsi, est forcément aigu.

Le côté BG opposé à l'angle droit se nomme l'hypoténuse ; les deux autres AB, AC sont les côtés de l'angle droit.

227. Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

Ce théorème capital, qui porte le nom de Pythagore, se présente à nous comme le dernier cas particulier de ceux des n«i 222, 224, soit à cause de A'A" = 0, soit à cause de Y^ AJ=0.

228. Les relations transitoires (2), (3) du n° 222 montrent que, dans un triangle rectangle, chaque côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle (Chap. XX, inf.) entre sa projection sur l'hypoténuse et cette hypoténuse elle-même. Car si l'angle A du triangle ABC (fig. 46) est droit, les angles A', A" qui lui ont été construits égaux le sont tous deux aussi ; BC est l'hypoténuse du triangle rectangle, et les segments BA', CA" deviennent les projections des côtés de l'angle droit sur cette hypoténuse.

229. La longueur de la perpendiculaire A A' (ou A A") abaissée du somnjet de l'angle droit sur l'hypoténuse est moyenne proportionnelle entre les deux segments en lesquels elle la découpe. (Cf. Chap. XVI, inf.).

Car la proportionnalité des côtés homologues dans les triangles BA'A, AA"C (fig. 46) qui sont équiangles l'un à l'autre comme l'étant chacun à BAC, donne