De la relation

existant entre l'hj-poténuse a d'un triangle rectangle et les côtés b, c de son angle droit (227), on déduit immédiatement

d'où

a > t, ay c.

En d'autres termes, l'hypoténuse d'un triangle rectangle surpasse en longueur chacun des côtés de l'angle droit.

231. Deu.v triangles rectangles sont équiangles et, par suite, ont tous leurs côtés respectivement proportionnels (214) : I, s'ils ont un angle aigu égal ; II, ou bien si deux côtés, de l'un sont proportionnels aux deux côtés de l'autre, qui sont placés de la même manière par rapport (i l'angle droit.

I. Quand un angle aigu de l'un est égal à un angle aigu de l'autre, ils ont deux angles respectivement égaux, savoir ces angles aigus et leurs angles droits ; ils sont donc équiangles {Ibid.).

II. 1" Si les côtés des angles droits sont proportionnels, les triangles sont équiangles comme ayant un angle égal (l'angle droit) compris entre côtés proportionnels (215).

2o Si enfin l'hypoténuse a et un côté de l'angle droit b dans un triangle sont proportionnels aux côtés a', b' de mêmes noms dans l'autre, la proportion supposée

THIANGLES RECTANGLES. Q'J

donne immédiatement

a'- b'- a'- — b'- c'en représentant par c, c' les autres cotés des angles droits. On a donc en particulier

b'~c" ce qui ramène au cas ci-dessus (1°).

232. Deux triangles rectangles sont égaux, lorsqu'ils ont égaux et placés de la même manière dans l'un et dans l'autre, soit un côté et un angle aigu, soit deux côtés.

I. Dans le premier cas, les triangles sont équiangles (231), égaux par suite, comme a^ ant certainement des angles respectivement égaux adjacents aux côtés supposés égaux

II. Dans le second cas, les deux côtés d'un triangle supposés respectivement égaux à deux de l'autre ont avec ceux-ci des rapports tous deux égaux à 1, partant égaux entre eux. Le rapport des troisièmes côtés est donc égal à 1 aussi (231) ; en d'autres termes, tous les côtés d'un triangle sont respectivement égaux à ceux de l'autre. Leurs angles droits, qui sont égaux, sont donc certainement compris entre des côtés égaux, et nos triangles sont bien égaux (216, II).

Triangles à côtés proportionnels.

233. Deux triangles dont les côtés sont proportionnels, sont équiangles. (Cf. 214.)

Soient ABC, A'B'C ifig. 48) ces triangles où des lettres semblables désignent leurs sommets opposés à des côtés proportionnels, et nommons a, b, c dans l'un, a', b', c' dans l'autre, les longueurs des côtés opposés à ces angles, donnant ainsi les proportions

abc

où r représente la valeur commune de ces trois rapports égaux. De sommets de mêmes noms B et B', abaissons les perpendiculaires BJ, B'J' sur les côtés opposés, et nommons f, y' les projections AJ, A'J' des côtés correspondants AB, A'B'. D'après le no 224, on a les relations

(2) a'=b' + c^ ±2 by, a'^ = b"- + c'^ dz 2by,

dans la seconde desquelles, la substitution à a', b\ c', des valeurs ra, rb, rc fournies pour ces côtés par les proportions i^l) conduit à

r^a- =: r-b' -\- r°C' ± 2rb'{',

ou bien, en divisant tous les termes par /■-,

La comparaison de cette égalité avec la première des relations (2) montre d'abord, que l'ambiguïté des seconds membres doit être interprétée de la même manière, c'est-à-dire que les angles A, A' de nos triangles sont en même temps obtus, aigus ou droits, par conséquent, et à la fois, soit supplémentaires, soit identiques aux angles BAJ, B'A'J' des triangles de mêmes notations, rectangles en 'J, J'.

Elle montre en outre que y' : r = y, c'est-à-dire que

et, par suite, que ces triangles rectangles AJB, A'J'B' sont équiangles (231, II, 2"), puisque, ainsi, ils ont proportionnels des côtés placés semblablement par rapport à leurs angles droits.

Les angles A, A' des triangles proi)osés qui, on vient de le voir, sont respectivement, soit identiques, soit supplémentaires aux angles égaux BAJ, B'A'J' des triangles rectangles, sont donc égaux entre eux, et on prouverait de même les égalités B=B'^ C = C'.

234. Deux triangles sont cgcnix, quand les côtés de l'un sont respectivement égaux à ceux de l'iuitre.

Car ces côtés sont proportionnels en particulier, ce qui entraîne l'égalité des angles opposés (233j et, par suite, celle des triangles eux-mêmes (216).

Applications.

235. Construire un triangle rectangle connaissant : I, un côté et un angle aigu ; II, les côtés de l'angle droit ; III, l'hypoténuse et un côté de l'angle droit.

I. 1" Si l'on donne un côté BA de l'angle droit ifig. 47) et un angle aigu adjacent B, le problème revient à la question résolue au n" 216 ter, car l'angle droit A est un deuxième angle connu, adjacent à ce côté,

2° Si l'on donne un côté de ce genre BA et l'angle aigu opposé

C, on pourra, soit ramener le problème au précédent (1°) par la construction préalable de l'angle B, complément de l'angle donné G (203, II), soit opérer directement en élevant sur AB sa perpendiculaire en A (202), puis traçant de B une droite BC coupant celle i)erj)en(liculaire sous l'angle C (204).

3° Si l'on donne ihijpolcnuse BG et an luujle (liyn B, on peut, soit ramener le problème à celui du n" 216 1er, par la construction préalable du complément G de l'angle donné B (203, II), soit porter en B, à partir de la demi-droite BG, un angle égal à l'angle donné B (216 bis), puis achever le triangle en abaissant de G sur le second côté de cet angle, la perpendiculaire GA (202).

Pour sa possibilité, chacun de ces trois cas exige évidemment la seule condition que l'angle donné soit bien aigu (226).

II. Le problème n'est autre que celui du no 216 quater, puisque l'angle A, compris entre les côtés donnés AB, AG, est droit, par suite donné implicitement encore.

III. Soient a, b les longueurs de l'hjpoténuse et du côté de l'angle droit donné, puis x celle inconnue de l'autre côté du même angle. La relation

donne

X' = a' — b'^, d'où X = V^cr — t- ,

et l'on est ramené au cas III, si o > 6.

Si a^^b, le problème n'est pas résoluble, du moins par un triangle déchevêtré (206) ; car on trouve a;=: 0, ce qui implique la coïncidence de l'hypoténuse avec l'autre côté de l'angle droit.

Si a < è, le problème est impossible (230).

[A proprement parler, ceci n'est pas une construction du triangle, mais seulement sa résolution (243, inf.) ; la construction géométrique exige l'intervention d'un ceixle, et nous ne pourrons la donner qu'au Ghapitre XX {inf.)].

236. Construire un triangle ABG (Jîg. 48) connaissant les longueurs a, b, c de ses trois côtés.

Si l'on a a- > b- + c-, la première des relations (5) du n" 224 peut seule exister et donne alors, pour la projection y du côté AB sur la droite AG, la valeur

Dans le triangle AJB, rectangle en J, on connaît donc maintenant l'hypoténuse AB ^= c et le côté de l'angle droit JA=y- La construction de ce triangle (235, III) fera connaître son angle aigu JAB, et l'angle A du triangle, qui est alors obtus, sera le supplément de celui-ci (203, I).

Connaissant actuellement cet angle A et les côtés b, c qui le comprennent, il ne restera plus, pour construire le triangle inconnu, qu'à procéder comme au n" 216 qiiater.

Pour que le triangle cherché existe, il faut et il suffit (235, III) que le triangle rectangle AJB soit possible, c'est-à-dire que la quantité y, fournie par la formule (1), soit inférieure à c. Cette inégalité

conduit facilement à a- <C b- -{-2 bc -'- c- <C(b ~\- c)-, puis finalement, en extrayant les racines carrées, à a <ib-rc (Cf. 238, inf.). Quand on a o" < b- -f- c-, on part de la deuxième des mêmes relations alternatives, et les choses se passent de la même manière, à cela près que l'angle JAB du triangle rectangle est l'angle même A du triangle cherché, non plus son supplément comme tout à l'heure, et que l'on doit prendre

Pour la condition de possibilité, on trouve aussi facilement l'inégalité a > & — c, b désignant celui des côtés donnés b, c qui est au moins égal à l'autre.

L'observation finale du précédent numéro est textuellement applicable ici. Pour a"^ = fc- + c'^, il vient y ^ 0, et le triangle cherché est rectangle en A (235, II).

Triangle isoscèle.

237. Quand, dans un même triangle, deux angles sont mutuellement égaux, les côtés opposés et ces angles le sont aussi. Réciproquement, l'égalité de deux côtés entraine celle aussi des angles opposés.

Soient BAC {fig. 49i le triangle considéré et B'A'C un triangle égal, obtenu, par exemple, en dédoublant BAC.

I. Si les angles B, C sont égaux entre eux, les angles B', C qui leur sont égaux respectivement, le leur sont indistinctement aussi, et les triangles BAC, C'A'B' sont égaux- de la manière indiquée par ces notations, comme ayant BC = C'B', B = C, C = B' (216, I) ; d'où AC = A'B' = AB. "

II. Si ce sont les côtés AC, AB du premier triangle qui sont égaux entre eux, les côtés A'C, A'B' du second leur sont égaux indistinctement, et les triangles BAC, C'A'B' sont encore égaux, comme ayant BC = C'B', AC = A'B', AB = A'C (234); d'où B = C'=C.

\Jn triangle ayant ainsi égaux deux angles et leurs côtés opposés est dit isoscèle ; le côté adjacent aux angles égaux se

TRIANGLE ISOSCELR. 101

nomme volontiers sa hase, et, par .som/;u'/, on désij^nc plus spécialement le sommet du trianjfle (lui est opposé à sa base.

Deux triangles isoscèlcs égaux peuvent être superposés de deux manières, d'une seule, cependant, \)nv sim|)le glissement sur un plan fixe où ils seraient tous deux. Celte (Icrniérc possibilité n'existe pas toujours pour deux triangles égaux, quand ils sont .s"ca/é/ic,s', c'est-à-dire non isoscèles (217 et suiv.).

238. Dans un triangle isoscèle BAC (fîg. 49), une même droite issue de son sommet A, est perpendiculaire sur la base et partage à ta fois en deux parties égales cette base et l'angle opposé.

Comme la superposition des triangles BAC, C'A'B' ci-dessus (237) comporte évidemment celle des milieux D, D' de leurs bases BC, C'B', le triangle ADB s'appliciue sur A'D'C; par suite, il est égal à ADC égal à ce dernier. On en conclut d'abord, que les angles DAB, DAC sont égaux, puis, que les angles ADB, ADC le sont aussi ; ces derniers sont donc droits, puisque leur somme reproduit l'angle neutre BDC.

239. Du théorème du no 237, il résulte que l'égalité des trois angles d'un triangle entraine celle de ses trois côtés, et réciproquement. Un triangle a^-ant ainsi égaux ses trois angles et ses trois cotés est dit équilaléral ; c'est un polygone régulier de trois côtés (Chap. XXI, inf.). La somme des angles d'un pareil triangle étant ainsi le triple de l'un d'eux et reproduisant l'angle neutre (211), chacun de ces angles est égal à X. : 3, soit 60» (174). Tous les triangles équilatéraux sont donc équiangles.

Quand ils sont égaux, deux semblables triangles peuvent être superposés de six manières.

Rapports trigonoméiviqiics cViin angle saillant.

240. Construisons plusieurs triangles rectangles offrant un même angle aigu B (235, 1), et soient dans l'un d'eux, b le côté opposé à l'angle B, puis a, c, l'in'poténuse et l'autre côté de l'angle droit. Quel que soit le triangle considéré, chacun des quatre rapports b : a, c : a, b : c, c : ba la même valeur.

Car un autre triangle quelconque de cette espèce, c'est-à-dire ayant un angle aigu égal à B, est équiangle au précédent (231, l), et si a', b', c' désignent ses côtés homologues à ceux de celui-ci, les proi^ortions

a'~ b'~c' donnent immédiatement

Réciproquement, deux angles aigus B, B', sont égaux, si un seul de ces quatre rapports relatifs à l'un est égal à celui de même rang parmi les quatre appartenant à l'autre.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait b : a:=b' :a'. On tire de là

et les triangles rectangles qui ont B, B' pour angles aigus sont équiangles, parce qu'ils ont proportionnels, des paires de côtés placés de la même manière par rapport à leurs angles droits (231, II). Donc en particulier B =B'.

Il y a le plus haut intérêt à considérer ces quatre nombres, dont les valeurs sont liées ainsi d'une manière si étroite à l'amplitude de tout angle aigu B ; on leur a donc affecté des dénominations spéciales, en les appelant respectivement le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangcnte de cet angle. Dans l'écriture, on les représente par les notations suivantes auxquelles nous avons adjoint les rapports qu'elles désignent:

sin B — -,

cos B = - ,

tangB=: -,

cotB= -

On remarquera les inégalités constantes sin B < 1, cos B < 1 provenant de ce que, dans tout triangle rectangle, les côtés de l'angle droit sont tous deux inférieurs à l'hypoténuse (230).

241. Cette notion comporte une généralisation, des développements et des applications constituant la Trigonométrie, partie des Mathématiques dont nous n'avons pas à nous occuper ici en détail. Nous devons toutefois signaler les points suivants, à cause de leur utilité générale qui est extrême, comme leur simplicité.